【数论-一些关于gcd的公式的推导】

1.数论里面与gcd有关的考察点很多很多。下面就几个常用的式子来推导一下。

(1)

                                            

证明：

                

(2)

                                          

证明：

                            

(3)

                                                

证明：

                                  

(4)

                                 

这个就不再证明了，很简单，利用上边的结论：给分母乘n，分子同时也要乘n。所以可以得到右边的式子。

(5)

                                       

证明：

                   

基本上常用的就是这些了，还有一些结论：

                          

那么根据唯一分解定理，我们可以推出来：

                  

 

其中pi,ai是n被唯一分解后的底数和对应的指数。