【HDU5974】思维

1.​​题目链接​​。题目大意:x+y=a,lcm(x,y)=b.求x，y.不存在就输出:No Solution.

2.分析：首先，

                                                        

这里我们得到了一个类似一元二次方程的东西,如果gcd(x,y)是一个定值，那么这题就解决了。基于这个猜想，我们发现:gcd(x,y)=gcd(a,b).证明一下：

                                            首先，我们假设gcd(x,y)=m.所以:

                                          x=k1*m;y=k2*m（这里k1,k2互质）

                                     

对于x+y.我们直到，他是整除m的。lcm(x,y)也是整除m的。那么可以得到

                                                         x+y=(k1+k2)*m

把lcm(x,y）展开：

                                                   

  所以二者的gcd还是m。那么gcd(x,y)=gcd(a,b)得证。（这里一点小小的问题，为什么互质的两个数的和与乘积还是互质的？？？，其实从唯一分解不难理解）。

然后就是一元二次方程的求解了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#pragma warning(disable:4996)
ll gcd(ll a, ll b)
{
  return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
ll isS(ll a)
{
  ll b = sqrt(a);
  return b * b == a;
}
int main()
{

  ll a, b;
  while (~scanf("%lld%lld", &a, &b))
  {
    ll tmp = gcd(a, b);

    tmp *= b;
    ll delt = a * a - 4 * tmp;
    if (delt < 0 || !isS(delt))
    {
      puts("No Solution");
      continue;
    }
    delt = sqrt(delt);
    if ((a - delt) % 2 != 0)
    {
      puts("No Solution");
      continue;
    }
    ll x = (a - delt) / 2;
    ll y = a - x;
    printf("%lld %lld\n", x, y);
  }
  return 0;
}