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Introduction
加权图
在一些应用中，是非常有用的数据作为带有加权边缘的图形模型。这些图形被称为“加权关系图”。什么是“加权边”，你不知道？考虑一下这个图表：
让我们想象一下，每个节点都是一个城市，每边是两个城市之间的现有道路。这意味着你可以从直接开到B中。但是，你不能开车从A到d直接，因为有这些城市之间没有道路; 相反，例如，你需要去从A到B，然后从B到D.
现在，不是每一条道路是平等的。它们有的长，有的不是在良好的状态（所以你需要慢慢地走），有的有更多的交通…总之：你需要更多的时间用于遍历一些道路比其他。我们可以用分配给道路（图的边缘）的权重来表示那个时间。在这个例子中，我们假设每个数字代表小时的时间量，它需要你采取一条道路。这意味着，从A到B，如果你使用的是直接连接它们的路需要3个小时。
你将会发现，你可以代表很多不同的东西（时间，距离，金钱…），在图形边缘的权重。
路径
假设我问你有多少时间将它带你从C到去B.你可能会说，它会带你7小时，通过采取道路直接连接它们。但是，你也可以说，你可以完成行程中只有4个小时，如果你去从C到A，然后从A到B有可以采取其他途径。
形式上，路径是其连接不同顶点的边缘序列的序列。如果在你的图没有多条边（连接在同一对节点，因为如果你有两个不同的道路直接连接相同的两个城市即平行边），你能描述简单，因为它连接的节点列表中选择一个路径。例如，我们在我们的例子中提到的两个路径是C，B和C，A，B。
最短路径
前面说过，遍历路径C、B需要7个小时，遍历路径C、A、B只需要4个小时。这些时间就是这些路径的权重。因此，我们说一个路径的权重是它所包含的边缘的权重之和。
正如你所看到的，路径C，A，B比路径C，B。其实短，这是C和B之间的最短路径（试图找到一个更短的一个！）。当然，在很多应用中，这将是非常有用的，以便能够提前计算什么两个节点之间的最短路径。什么是我可以带回家的最短路线？什么是我可以从布卡拉曼加飞往夏威夷最便宜的方式？我怎样才能有效地路由从节点1这个数据包到节点2在这个网络中？那样的问题，可以用最短路径算法或变体来解决。
所以…我们怎样才能获得一个图的最短路径？有几种选择。Dijkstra算法就是其中之一！请继续阅读知道如何！
Dijkstra 算法
Dijkstra’s Algorithm 允许您计算图中一个节点（您选择哪一个）和其他每个节点之间的最短路径。您将在本页末尾找到算法的描述，但是，让我们通过一个解释性示例来研究算法！让我们计算节点 C 和图中其他节点之间的最短路径：
在算法执行期间，我们将标记每个节点与节点 C（我们选择的节点）的最小距离。对于节点 C，此距离为 0。对于其余节点，由于我们仍然不知道最小距离，因此它开始为无穷大 (∞)：
我们还将有一个当前节点。最初，我们将其设置为 C（我们选择的节点）。在图像中，我们用红点标记当前节点。
现在，我们不按特定顺序检查当前节点（A、B 和 D）的邻居。让我们从 B 开始，我们将当前节点的最小距离（在本例中为 0）与连接当前节点与 B 的边的权重（在本例中为 7）相加，我们得到 0 + 7 = 7 . 我们将该值与 B 的最小距离（无穷大）进行比较；最小值是作为 B 的最小距离保留的值（在这种情况下，7 小于无穷大）：
到现在为止还挺好。现在，让我们检查邻居 A。我们将 0（当前节点 C 的最小距离）与 1（连接当前节点与 A 的边的权重）相加得到 1。我们将 1 与 A 的最小距离进行比较（无穷大），并保留最小值：
对 D 重复相同的过程：
我们已经检查了 C 的所有邻居。因此，我们将其标记为visited。让我们用绿色复选标记表示访问过的节点：
我们现在需要选择一个新的当前节点。该节点必须是最小距离最小的未访问节点（因此，编号最小且没有复选标记的节点）。那是 A。让我们用红点标记它：
现在我们重复这个算法。我们检查当前节点的邻居，忽略访问过的节点。这意味着我们只检查 B。
对于 B，我们将 1（A 的最小距离，我们当前的节点）与 3（连接 A 和 B 的边的权重）相加得到 4。我们将 4 与 B 的最小距离（7）进行比较，并留下最小值：4。
之后，我们将 A 标记为已访问并选择一个新的当前节点：D，它是当前距离最小的未访问节点。
我们再次重复该算法。这一次，我们检查 B 和 E。
对于 B，我们得到 2 + 5 = 7。我们将该值与 B 的最小距离 (4) 进行比较并留下最小值 (4)。对于 E，我们得到 2 + 7 = 9，将其与 E 的最小距离（无穷大）进行比较，留下最小的一个（9）。
我们将 D 标记为已访问并将当前节点设置为 B。
差不多好了。我们只需要检查E。4 + 1 = 5，它小于E的最小距离（9），所以我们留下5。然后，我们将B标记为已访问并将E设置为当前节点。
E 没有任何未访问的邻居，所以我们不需要检查任何东西。我们将其标记为已访问。
下面是算法的描述：
- 用当前距离为 0 标记您选择的初始节点，其余为无穷大。
- 将当前距离最小的未访问节点设置为当前节点C。
- 对于N当前节点的每个邻居C：将当前距离C与连接边的权重相加C- N。如果小于 的当前距离N，则将其设置为 的新当前距离N。
- 将当前节点标记C为已访问。
- 如果存在未访问的节点，则转至步骤 2。
为了获得对应于这些最小值的路径，我们只需要在每次更改节点的最小距离时跟踪节点。继续阅读以查看它！
跟踪路径
让我们在图中再次运行算法：
然而，这一次，让我们跟踪实际的最短路径。它们都是空的，除了初始节点的路径，它只包含它：
path to A = empty
path to B = empty
path to C = C
path to D = empty
path to E = empty
新的东西是我们每次修改节点的最小距离时都会更新这些路径。
让我们检查当前节点的邻居。让我们从 B 开始。我们添加 0 + 7 = 7。由于该值小于无穷大，我们用它更改 B 的最小距离，并将当前到 B的路径替换为到当前节点的路径（path to C，即C），加上B。这意味着path to B = C, B.
我们对邻居 A 和 D 重复这个过程。之后，我们的图和路径如下：
path to A = C, A
path to B = C, B
path to C = C
path to D = C, D
path to E = empty
我们的当前节点现在设置为 A。我们检查它唯一的未访问邻居 B。当我们将 B 的最小距离从 7 替换为 4 时，我们也将其当前路径替换为当前节点 A ( C, A)的路径，加B:) path to B = C, A, B。
我们的当前节点现在设置为 A。我们检查它唯一的未访问邻居 B。当我们将 B 的最小距离从 7 替换为 4 时，我们也将其当前路径替换为当前节点 A ( C, A)的路径，加B:) path to B = C, A, B。
path to A = C, A
path to B = C, A, B
path to C = C
path to D = C, D
path to E = empty
我们将 A 标记为已访问并选择我们的下一个当前节点：D。我们检查两个邻居：B 和 E。
检查 B 时，我们不替换其最小距离（因为现有 4 小于计算出的 7），因此我们也不替换其当前路径。请记住：我们仅在修改节点的最小距离时才替换路径。
然后我们检查邻居 E，更新它的最小距离（9，它小于无穷大）和路径（path to E = C, D, E，它是path to D加 E），剩下这个：
path to A = C, A
path to B = C, A, B
path to C = C
path to D = C, D
path to E = C, D, E
让我们快进一点：我们继续应用算法直到我们完成。完成后，我们的图形和路径将如下所示：
path to A = C, A
path to B = C, A, B
path to C = C
path to D = C, D
path to E = C, A, B, E
结尾
再次是 Dijkstra 算法：
- 用当前距离为 0 标记您选择的初始节点，其余为无穷大。
- 将当前距离最小的未访问节点设置为当前节点C。
- 对于N当前节点的每个邻居C：将当前距离C与连接边的权重相加C- N。如果小于 的当前距离N，则将其设置为 的新当前距离N。
- 将当前节点标记C为已访问。
- 如果存在未访问的节点，则转至步骤 2。
让我们看看我们可能应用于算法的一些小改进：
- 如果您只需要两个特定节点之间的路径，则可以在将第二个节点标记为已访问后立即停止算法。
- 有时，两个节点之间有几条最小路径（权重相同的不同路径）。如果您愿意，您可以跟踪所有这些变体：在步骤 3 中，如果计算值与当前距离之间存在联系，则保存旧的当前路径和新路径。这会使跟踪复杂化，但它可能对您有用。
- 如果因为没有剩余的单向节点而完成算法，但存在最小距离仍然为无穷大的节点，则这些节点没有任何到原始节点的有效路径。
