算法分析之-渐进记号

渐进记号

渐进记号分为：Θ()、Ω()、ω()、O()、o()

---

1. Θ记号

$f(n) = \Theta(g(n))$

$存在正常数C_1,C_2和n_0，使得对所有的n \ge n_0，$
$都有0 \le C_1*g(n) \le f(n)\le C_2*g(n)，f(n)与g(n)在数量级上相等$

$我们试着证明:$
$\frac12n^2 - 3n = \theta(n^2)$

$第一步，我们必须确定有$
$C_1n^2\le\frac12n^2-3n\le C_2n^2$

$第二步，我们将两边除以n^2$
$C_1\le \frac12 - \frac3n\le C_2$

$C_2\ge1/2可以使任意n\ge1，不等式右边成立$
$C_1\le1/14可以使任意n\ge7，不等式左边成立$

---

2. O记号

$f(n) = O(g(n))$

$存在正常数C，n_0, 使得对所有的n\ge n_0, 都有0\le f(n) \le C * g(n)$
$f(n)在数量级小于等于g(n)$

---

3. o记号

$f(n) = o(g(n))$

$存在正常数C，n_0, 使得对所有的n\ge n_0, 都有0\le f(n) \lt c * g(n);f(n)在数量级小于g(n)$

e.g.：$2n = \omicron(n^2);2n ^2 \neq o(n ^2)$

---

4. Ω记号

$f(n) = Ω(g(n))$

$存在正常数C，n_0, 使得对所有的n\ge n_0, 都有 0 \le C * g(n) \le f(n); f(n)在数量级大于等于g(n)$

---

5. ω记号

$f(n) = ω(g(n))$

$存在正常数C，n_0, 使得对所有的n\ge n0, 都有 0 \le c * g(n) \lt f(n); f(n)在数量级大于g(n)$

---

性质

1. 传递性
2. 自反性
3. 对称性
4. 转置对称性