什么是堆
「堆」首先是一个完全二叉树，「堆」分为「大顶堆」和「小顶堆」；
「大顶堆」 :
每个节点的值大于或等于其左右孩子节点的值，称为大顶堆。
「小顶堆」同理就是每个节点的值小于或等于其左右孩子节点的值。
「注意」:
每个节点的左右孩子节点的大小关系并没有限定。
大顶堆举例
如图：
大顶堆举例
首先其为一个完全二叉树，且其每个节点的值都大于或者等于其左右孩子节点的值。
完全二叉树从上到下，从左到右依次编号，就可以将其进行顺序存储，我们从根节点开始，从0开始编号，存入数组如下：
大顶堆存入数组举例
堆特点
由大顶堆定义知道，如果我们从上到下，从左到右，根节点开始从0编号进行顺序存储的话，并将数组记为arr；
我们可以得到如下式子：
arr[i] >= arr[ 2i + 1] && arr[ i ] >= arr[ 2i + 2];
其中 2i + 1为第 i 个节点的左孩子节点的编号。2i + 2为第 i 个节点的右孩子节点的编号；
同理得小顶堆的特点：
arr[i] <= arr[ 2i + 1] && arr[ i ] <= arr[ 2i + 2];
堆排序基本思想
本文以大顶堆为例，进行讲解。
算法步骤如下：
1、首先将待排序序列构建成一个大顶堆(存入数组中)，那么这时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点；
2、将堆顶元素与最后一个元素交换，那么末尾元素就存入了最大值；
3、将剩余的 n - 1个元素重新构建成一个大顶堆，重复上面的操作；
反复执行，就能得到一个有序序列了。
举例
给定一个待排序序列数组 arr = [ 0 , 2, 4, 1 , 5 ]；
先构建成一个完全二叉树如下;
初始状态
构建堆
「我们从最后一个非叶子节点开始，从左至右，从下到上，开始调整」；
最后一个非叶子节点的索引即 arr.length / 2向下取整 - 1 ，对于此例就是 5 / 2向下取整 - 1 = 2 - 1 = 1；
即值为2的节点；
构建堆1
我们用左右孩子节点的最大值与该节点进行比较；
此时我们发现它的左右孩子节点的最大值为5，大于2，进行交换；
构建堆2
然后处理下一个非叶子节点，即刚才的索引减去1；1 - 1 = 0；
即：
构建堆3
左右孩子节点为5和4，5最大，且大于该节点的值，发生交换；
构建堆4
这时我们发现了一个问题:
「值为0的节点的左右节点又比该节点大了，又不满足大顶堆的定义了」
继续进行调整:
构建堆5
对非叶子节点调整完毕，构建大顶堆完成。
交换
将堆顶元素与末尾元素进行交换，使得末尾元素最大。
堆顶元素与末尾元素交换
当交换完毕后最大的元素已经到达数组末尾；
第一次交换后
对数组中其他元素进行排序即可。
剩下的四个元素进行调整
进行交换：
第二大元素归位
剩下的元素调整并交换后：
第三大元素归位
剩下的元素调整并交换后：
第三大元素归位
第四大元素归位置
此时也意味着排序完成了。
代码
先说下调整的代码；
我们需要三个参数，待排序的数组，数组的长度，还有一个就是调整的哪一个非叶子节点；
/**
* author:微信公众号:code随笔
* @param arr 待排序的数组
* @param i 表示等待调整的哪个非叶子节点的索引
* @param length 待调整长度
*/
public static void adjustHeap(int arr[],int i,int length){
//非叶子节点的值
int notLeafNodeVal = arr[i];
//k的初始值为当前非叶子节点的左孩子节点的索引
//k = 2 * k + 1表示再往左子节点找
for(int k = i * 2 + 1;k<length;k=2 *k + 1){
//如果k + 1还在待调整的长度内，且右子树的值大于等于左子树的值
//将k++，此时为当前节点的右孩子节点的索引
if(k+1<length && arr[k] < arr[k+1]){
k++;
}
//如果孩子节点大于当前非叶子节点
if(arr[k] > notLeafNodeVal){
arr[i] = arr[k];//将当前节点赋值为孩子节点的值
i = k;//将i赋值为孩子节点的值，再看其孩子节点是否有比它大的
}else{
break;//能够break的保证是，我们是从左至右，从下到上进行调整的
//只要上面的不大于，下面的必不大于
}
}
//循环结束后，将i索引处的节点赋值为之前存的那个非叶子节点的值
arr[i] = notLeafNodeVal;
}
再说下堆排序代码,看好注释；
//堆排序方法
public static void heapSort(int arr[]){
//进行第一次调整
for(int i=arr.length/2 - 1;i>=0;i--){
adjustHeap(arr,i,arr.length);
}
for(int j=arr.length - 1;j>0;j--){
//进行交换
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[0];
arr[0] = temp;
//调整长度为j的那些
//这里为什么填0呢
//因为我们第一次调整的时候从左到右，从下到上调整的；
//交换时只是变动了堆顶元素和末尾元素
//末尾元素我们不用去管，因为已经是之前长度最大的了
//只需要把当前堆顶元素找到合适的位置即可
adjustHeap(arr,0,j);
}
}
完整代码
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public static void main(String[] args) {
int [] arr = new int[]{0 , 2, 4, 1 , 5};
heapSort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
//堆排序方法
public static void heapSort(int arr[]){
//进行第一次调整
for(int i=arr.length/2 - 1;i>=0;i--){
adjustHeap(arr,i,arr.length);
}
for(int j=arr.length - 1;j>0;j--){
//进行交换
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[0];
arr[0] = temp;
//调整长度为j的那些
//这里为什么填0呢
//因为我们第一次调整的时候从左到右，从下到上调整的；
//交换时只是变动了堆顶元素和末尾元素
//末尾元素我们不用去管，因为已经是之前长度最大的了
//只需要把当前堆顶元素找到合适的位置即可
adjustHeap(arr,0,j);
}
}
/**
* author:微信公众号:code随笔
* @param arr 待排序的数组
* @param i 表示等待调整的哪个非叶子节点的索引
* @param length 待调整长度
*/
public static void adjustHeap(int arr[],int i,int length){
//非叶子节点的值
int notLeafNodeVal = arr[i];
//k的初始值为当前非叶子节点的左孩子节点的索引
//k = 2 * k + 1表示再往左子节点找
for(int k = i * 2 + 1;k<length;k=2 *k + 1){
//如果k + 1还在待调整的长度内，且右子树的值大于等于左子树的值
//将k++，此时为当前节点的右孩子节点的索引
if(k+1<length && arr[k] < arr[k+1]){
k++;
}
//如果孩子节点大于当前非叶子节点
if(arr[k] > notLeafNodeVal){
arr[i] = arr[k];//将当前节点赋值为孩子节点的值
i = k;//将i赋值为孩子节点的值，再看其孩子节点是否有比它大的
}else{
break;//能够break的保证是，我们是从左至右，从下到上进行调整的
//只要上面的不大于，下面的必不大于
}
}
//循环结束后，将i索引处的节点赋值为之前存的那个非叶子节点的值
arr[i] = notLeafNodeVal;
}
}
时间复杂度
在建初始堆时，其复杂度为
;
交换操作需 n-1 次;
重建堆的过程中近似为
；
堆排序时间复杂度为
。
稳定性
堆排序是不稳定的：
比如：10，9，6，9；如图：
稳定性分析用图
当堆顶元素10和末尾元素交换后，两个9的相对位置发生改变。
