蓝桥杯算法竞赛系列第一章——位运算的奇巧淫技及其实战

int a = 20;  //整型a是4个字节，32位

  // 00000000 00000000 00000000 00010100 - 原码
  // 00000000 00000000 00000000 00010100 - 反码
  // 00000000 00000000 00000000 00010100 - 补码

  int b = -10;

  // 10000000 00000000 00000000 00001010 - 原码
  // 11111111 11111111 11111111 11110101 - 反码
  // 11111111 11111111 11111111 11110110 - 补码

声明：对于数据的存储只简单介绍到这里，详细介绍将放在后面零基础搞定C语言系列

二、蓝桥云课：位运算的奇巧淫技

1、判断奇偶数

解题思路：

拿int型举例，int占4个字节，也就是32位，对于整型来说，数据存放在内存当中存放的是其补码形式，由于第一位(注意上面图片中第1位的位置)前面的数都是2的1及以上次方，只有当第一位是1时为奇数，是0时为偶数，大家先理解一下上面这句话，明白了以后，如果我们想要判断一个整数的奇偶性，只需要和1进行按位&运算即可，由于1中除第1位以外每一位都是0，又因为任何数中的每一位与1中的0位做&运算，与0位做&运算的位结果都是0，所以偶数和1进行&运算是0，奇数和1进行&运算是1

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  printf("判断奇偶数：\n");
  int num = 12;
  if ((num & 1) == 0)
  {
    printf("%d是偶数\n",num);
  }
  else
  {
    printf("%d是奇数\n", num);
  }
  return 0;
}

2、判断二进制位是1还是0（两种方法）

例：int x = 86; // 定义一个整型变量x, 并将其初始化为86

现需要判断第5位是1还是0，该如何操作？

方法一解题思路

老样子，还是用整数1执行操作，由于是判断x的第五位是1还是0，所以取整数1，让1左移（5 - 1）位，也就是左移4位，然后直接和x进行按位&操作，最后再右移4位至该数二进制第一位，若第1位是0，则第5位上的二进制数是0，否则是1

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int x = 86;
  printf("判断整数86的二进制第5位是1还是0:\n");
  //运算符的使用有优先级，我们不必特意去记这个，可能存在歧义的时候，就加上括号，这样既保险又省心
  if ((((1 << 4) & x) >> 4) == 0)
  {
    putchar('0');
  }
  else
  {
    putchar('1');
  }
  return 0;
}

方法二解题思路

该方法较方法一就简单多了，它利用了“判断奇偶数”的解题思想，首先，让x右移（5 - 1）位，即右移4位，然后再和1相&，如果结果是0，则第5位上的二进制数是0，否则是1。

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int x = 86;
  printf("判断整数86的二进制第5位是1还是0:\n");
  if (((x >> 4) & 1) == 0)
  {
    putchar('0');
  }
  else
  {
    putchar('1');
  }
  return 0;
}

3、交换两个整型变量的值（异或法）

解题思路

补充：异或，可理解为不进位加法，如1+1 = 0, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1

异或：如果两个数字的二进制位相同，则结果为0，相异则结果为1.

异或的性质：

1.交换律：可任意交换运算因子的位置，结果不变；

如：a ^ b ^ c = b ^ a ^ c;

2.结合律：即(a ^ b) ^ c == a ^ ( b ^ c) ;

3.对于任何数x, 都有x ^ x = 0, x ^ 0 = x,同自己求异或为0，同0求异或为自己

4.自反性：A ^ B ^ B = A ^ 0 = A, 连续和同一个因子做异或运算，最终结果为自己

说了这么多，那么位运算中的异或到底跟“交换两个整型变量的值”这个题目有什么联系呢，请听笔者向铁汁们慢慢道来...

例题：int A = 10, int B = 20, 在不引入第3个变量的情况下，交换两个变量的值（除了采用异或法，用加减法也可以，这个将在后面的零基础搞定C语言中详细介绍）

蓝桥杯算法竞赛系列第一章——位运算的奇巧淫技及其实战_java_02

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int A = 10;
  int B = 20;
  printf("交换前A = %d B = %d\n", A, B);
  A = A ^ B;
  B = A ^ B;
  A = A ^ B;
  printf("交换后A = %d B = %d\n", A, B);
  return 0;
}

4、不用判断语句，求整数的绝对值

解题思路

蓝桥杯算法竞赛系列第一章——位运算的奇巧淫技及其实战_java_03

如果上面的表述看不懂也没有关系，表达式已经给出来了，你只需要知道当遇到不用判断语句求整数的绝对值用它即可。

代码执行

本题采用Java语言编写

public class Test10_16 {
  public static void main(String[] args) {

    System.out.println("不用判断语句，求整数的绝对值");
    int num5 = -100;
    System.out.println("num5的绝对值是：" + ((num5 ^ (num5 >> 31)) + (num5 >>> 31)));
  }
}

三、实战例题

例1、如何找数组中唯一成对的那个数

1-10这10个数放在含有11个元素的数组中，只有唯一一个元素重复，其他均只出现一次，要求每个数组元素只能够被访问一次，请设计一个算法，将它找出来，不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

解题思路

想要计算出本题，需要我们掌握异或的性质，思路：定义一个数x，并将它初始化成0，将它和数组中的11个数异或，再和1-10这10个自然数异或，最终的结果就是那个数。

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int arr[] = { 1,2,3,2,6,4,7,5,8,9,10 };
  int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
  int x = 0;//之所以将x初始化为0，因为0与任何数异或都是它自己
  for (int i = 0; i < sz; i++)
  {
    x = x ^ arr[i];
  }
  for (int i = 1; i <= sz - 1; i++)
  {
    x = x ^ i;
  }
  printf("%d\n", x);  
  return 0;
}

例2、找出落单的那个数

一个数组中除了某一个元素中之外，其他的元素都出现了两次，请写程序找出这份只出现一次的数字

解题思路

这道题比第一道题还要简单，直接异或即可

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int arr[] = { 1,1,2,3,3,4,4,5,5 };
  int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
  int x = 0;
  for (int i = 0; i < sz; i++)
  {
    x = x ^ arr[i];
  }
  printf("%d\n", x);
  return 0;
}

例3、二进制中1的个数

输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数

如9的二进制表示为00000000 00000000 00000000 00001001，有两个1

方法1解题思路

笨方法，把1给数出来-->让1动，那个整数一直不动，利用32次循环，每一次都是将相应位上的数字进行按位&操作

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int num = 9;
  int count = 0;//用于计数
  for (int i = 0; i < 32; i++)
  {
        //一定要注意写法，虽然简单，但是容易出错
    if ((num & (1 << i)) == (1 << i))-----注意写成if((num & (1 << i) == 1)就错了
    {
      count++;
    }
  }
  printf("%d\n", count);
  return 0;
}

方法2解题思路

其实就是方法1的一个变形，保持1的位置不动，让那个整数不断右移

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int num = 9;
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < 32; i++)
  {
    if (((num >> i) & 1) == 1)
    {
      count++;
    }
  }
  printf("%d\n", count);
  return 0;
}

方法3解题思路

技多不压身，铁汁们最好将这三种方法全部掌握，保不准在之后的题目中会用到。

利用循环，当这个整数变为0时循环结束，循环体中执行num = (num - 1) & num 这个操作

蓝桥杯算法竞赛系列第一章——位运算的奇巧淫技及其实战_蓝桥杯_04

可能大家一开始的时候想不到这个解法，笔者也是，我一开始看的时候也很蒙，但是当你看完了之后会有种醍醐灌顶的感觉，说明你理解了原来还可以这样。虽然之前我们可能想不到，但是既然现在遇到了，那就要记住它，以后再出现的时候就要会运用了，一起加油吧铁汁们。

代码执行

#include<stdio.h>
int main()
{
  int num = 9;
  int count = 0;
  while (num != 0)
  {
    num = (num - 1) & num;
    count++;
  }
  printf("%d\n", count);
  return 0;
}

例4、是不是2的整数次方

同一条语句判断一个整数是不是2的整数次方

解题思路

判断一个整数是不是2的整数次方，也就是这个整数的二进制中只有一个1

代码执行

看，这里就用到了上一题的方法3，所以我们该不该记住呢...

#include<stdio.h>
int main()
{
  int num = 9;
  if (((num - 1) & num) == 0)
  {
    printf("YES\n");
  }
  else
  {
    printf("NO\n");
  }
  return 0;
}

当你刷题的时候刷到了这题请注意要添加一个条件哦，就是这个num一定是大于0的，因为它是2的幂。

例5、将整数的奇偶位互换

注意：用1做&运算其实就是保留，用0做&运算其实就是消除

解题思路

蓝桥杯算法竞赛系列第一章——位运算的奇巧淫技及其实战_蓝桥杯_05

#include<stdio.h>
int main()
{
  int num = 9; //0000....00001001
  int a = 0xaaaaaaaa;  //1010....10101010
  int b = 0x55555555;  //0101....01010101
  int c = num & a;  //目的是保留num的偶数位
  int d = num & b;  //目的是保留num的奇数位

  printf("%d\n", ((c >> 1) ^ (d << 1)));

  return 0;
}