第十三届蓝桥杯C++B组国赛E题——出差 (AC)

​​​​​参赛话题：​​算法题解​​

1.出差

1.问题描述

$\mathrm{A}$ 国有 $N$ 个城市, 编号为 $1 \ldots N$ 。小明是编号为 1 的城市中一家公司的员 工, 今天突然接到了上级通知需要去编号为 $N$

由于疫情原因, 很多直达的交通方式暂时关闭, 小明无法乘坐飞机直接从 城市 1 到达城市 $N$, 需要通过其他城市进行陆路交通中转。小明通过交通信息 网, 查询到了 $M$

同样由于疫情原因, 小明到达一个城市后需要隔离观察一段时间才能离开 该城市前往其他城市。通过网络, 小明也查询到了各个城市的隔离信息。(由于 小明之前在城市 1 , 因此可以直接离开城市 1 , 不需要隔离）

由于上级要求, 小明希望能够尽快赶到城市 $\mathrm{N}$, 因此他求助于你, 希望你 能帮他规划一条路线, 能够在最短时间内到达城市 $N$

2.输入格式

第 1 行: 两个正整数 $N, M$ 表示 A 国的城市数量, $M$

第 2 行: $N$ 个正整数, 第 $i$ 个整数 $C_{i}$表示到达编号为 ${i}$

第 $3 \ldots M+2$ 行: 每行 3 个正整数, $u, v, c$ 表示有一条城市 $u$ 到城市 $v$ 的 双向路线仍然开通着, 通过该路线的时间为 $c$

3.输出格式

第 1 行: 1 个正整数, 表示小明从城市 1 出发到达城市 $N$ 的最短时间（到达城市 $N$, 不需要计算城市 $N$

4.样例输入

4 4
5 7 3 4
1 2 4
1 3 5
2 4 3
3 4 5

5.样例输出

13

6.样例说明

7.数据范围

对于 $100\%$ 的数据, $1 \leq N \leq 1000,1 \leq M \leq 10000,1 \leq C_{i} \leq 200,1≤u,v≤ N, 1 \leq c \leq 1000$

8.原题链接

​​出差​​

2.解题思路

  题意很明显考察的是一个最短路径问题，虽然题目说了给定的是双向边，但是假设​​g[i]​​​的含义是到达​​i​​​城市需要隔离的时间。假设有城市​​A​​​和城市​​B​​​,且两城市存在一条权值为​​w​​​的双向边，当我们从​​A​​​去到​​B​​​所需要花费的时间应该是​​w+g[B]​​​,当我们从​​B​​​去到​​A​​​所花的时间应该是​​w+g[A]​​。所以虽然题意是双向边，但是方向不同的情况下，权值并不一定相同，所以我们应该看成两条边。

也就是说,存在邻接矩阵​​gra[][]​​​，​​gra[i][j]​​​表示从​​i​​​到​​j​​​的所需要的时间，​​g[i][j]​​​和​​g[j][i]​​​并不一定是相等的。所以我们在建图时应该分清楚，需要注意的是终点​​n​​​的隔离时间我们是不考虑的，所以我们要把它置为​​0​​​。然后建图完毕后直接跑一遍最短路算法即可，由于$n$的最大只有​​​1000​​,所以使用朴素dijkstra算法也是能过的。

时间复杂度:$O(n^2)$

3.模板代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;

//邻接矩阵
int gra[N][N];
int dist[N];
int g[N];
bool st[N];
int n,m;
//朴素版dijkstra
int dijkstra()
{
     memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + gra[t][j]);
        st[t] = true;
    }
    return dist[n];
}
int main() 
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>g[i];
    g[n]=0;
    memset(gra, 0x3f, sizeof gra);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v,c;
        cin>>u>>v>>c;
        gra[u][v]=g[v]+c;
        gra[v][u]=g[u]+c;
    }
    cout<<dijkstra()<<endl;
    return 0;
}