题目描述
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n。
输出格式：
每行输出一个非负整数表示答案。
输入输出样例
输入样例#1：
3
6
8
10
输出样例#1：
4
9
19
说明
对于30%的数据 n<=100；
对于60%的数据 n<=2*10^7；
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
分析：dfs有30分，记忆化搜索有60分，剩下40分要怎么得到呢？求数列第n项可以用矩阵来优化.每一个f(i) (i > 3)都能表示成a*f(1) + b*f(2) + c*f(3),利用矩阵相乘的定义，构造矩阵,由于不方便打出来，可以在纸上画一下：
f(n) 1 0 1 f(n-1)
f(n-1) = 1 0 0 * f(n-2)
f(n-2) 0 1 0 f(n-3)
事实上我们只需要第二个矩阵的n-3次方就好了，结果就是所得矩阵第一行的三个数之和.
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
long long T,n,op[4][4],a[4][4],b[4][4];
long long temp[4][4],ans;
void init()
{
op[1][1] = 1;
op[1][2] = 0;
op[1][3] = 1;
op[2][1] = 1;
op[2][2] = 0;
op[2][3] = 0;
op[3][1] = 0;
op[3][2] = 1;
op[3][3] = 0;
}
void mul1()
{
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int k = 1; k <= 3; k++)
for (int i = 1; i <= 3; i++)
if (a[i][k])
for (int j = 1; j <= 3; j++)
temp[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
for (int i = 1; i <= 3; i++)
for (int j = 1; j <= 3; j++)
if (temp[i][j] < mod)
a[i][j] = temp[i][j];
else
a[i][j] = temp[i][j] % mod;
}
void mul2()
{
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (int k = 1; k <= 3; k++)
for (int i = 1; i <= 3; i++)
if (b[i][k])
for (int j = 1; j <= 3; j++)
temp[i][j] += b[i][k] * b[k][j];
for (int i = 1; i <= 3; i++)
for (int j = 1; j <= 3; j++)
if (temp[i][j] < mod)
b[i][j] = temp[i][j];
else
b[i][j] = temp[i][j] % mod;
}
int main()
{
scanf("%lld", &T);
init();
while (T--)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(b, 0, sizeof(b));
scanf("%lld", &n);
if (n <= 3)
printf("1\n");
else
{
n -= 3;
a[1][1] = a[2][2] = a[3][3] = 1;
memcpy(b, op, sizeof(b));
while (n)
{
if (n & 1)
mul1();
n >>= 1;
mul2();
}
ans = (a[1][1] + a[1][2] + a[1][3]) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}
}
return 0;
}
