文章目录
- 基本概念
- 介绍
- 定义
- 实际问题
- 例题1
- 方法
- 01序列
- 括号匹配
- 进出栈问题
- 312排列
- 不相交弦问题
- 二叉树的构成问题
- 凸多边形的三角划分
- 阶梯的矩形划分
基本概念
介绍
学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里，我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律
对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量
为了区分组合数，这里用 f n f_n fn表示卡特兰数的第 n n n项
从零开始，卡特兰数的前几项为 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 , 58786 , 208012 , 742900 , 2674440 , 9694845 , 35357670 , 129644790 … 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…
定义
递归定义
f n = f 0 ∗ f n − 1 + f 1 ∗ f n − 2 + … + f n − 1 f 0 f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0} fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1f0，其中 n ≥ 2 n\geq 2 n≥2
递推关系
f n = 4 n − 2 n + 1 f n − 1 f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1} fn=n+14n−2fn−1
通项公式
f n = 1 n + 1 C 2 n n f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n} fn=n+11C2nn
经化简后可得
f n = C 2 n n − C 2 n n − 1 f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} fn=C2nn−C2nn−1
只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列
实际问题
先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是
例题1
在一个 w × h w\times h w×h的网格上，你最开始在 ( 0 , 0 ) \left(0,0\right) (0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到 ( n , m ) , 0 ≤ n \left(n,m\right),0\leq n (n,m),0≤n有多少种不同的合法路径。
合法路径个数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
直接求不好，考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在 2 n 2n 2n次移动中选 n n n次向上移动，即 C 2 n n C_{2n}^{n} C2nn
画一下图，我们把 y = x + 1 y=x+1 y=x+1这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为 ( a , a + 1 ) \left(a,a+1\right) (a,a+1)
如图
我们把 ( a , a + 1 ) \left(a,a+1\right) (a,a+1)之后的路径全部按照 y = x + 1 y=x+1 y=x+1这条线对称过去
这样，最后的终点就会变成 ( n − 1 , n + 1 ) \left(n-1,n+1\right) (n−1,n+1)
由于所有的不合法路径一定会与 y = x + 1 y=x+1 y=x+1有这么一个交点
我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到 ( n − 1 , n + 1 ) \left(n-1,n+1\right) (n−1,n+1)的路径
且所有到 ( n − 1 , n + 1 ) \left(n-1,n+1\right) (n−1,n+1)的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可）
所以不合法路径总数是 C 2 n n − 1 C_{2n}^{n-1} C2nn−1
那么合法的路径总数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决
即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径
如网格计数
方法
先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的
01序列
你现在有 n n n个 0 0 0和 n n n个 1 1 1，问有多少个长度为 2 n 2n 2n的序列，使得序列的任意一个前缀中 1 1 1的个数都大于等于 0 0 0的个数
例如 n = 2 n=2 n=2时
有 1100 , 1010 1100,1010 1100,1010两种合法序列
而 1001 , 0101 , 0110 , 0011 1001,0101,0110,0011 1001,0101,0110,0011都是不合法的序列
合法的序列个数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
我们把出现一个 1 1 1看做向右走一格，出现一个 1 1 1看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题 1 1 1一模一样了
拓展
如果是 n n n个 1 , m 1,m 1,m个 0 0 0呢？
不过是最后的终点变为了 ( n , m ) \left(n,m\right) (n,m)罢了
如果是 1 1 1的个数不能够比 m m m少 k k k呢
我们只需将 y = x + 1 y=x+1 y=x+1这条线上下移动即可
括号匹配
你有 n n n个左括号， n n n个右括号，问有多少个长度为 2 n 2n 2n的括号序列使得所有的括号都是合法的
合法的序列个数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
要使所有的括号合法，实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量
将左括号看做 1 1 1，右括号看做 0 0 0，这题又和上面那题一模一样了
进出栈问题
有一个栈，我们有 2 n 2n 2n次操作， n n n次进栈， n n n次出栈，问有多少中合法的进出栈序列
合法的序列个数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
要使序列合法，在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数 … \ldots …
后面就不用我说了吧，和上面的问题又是一模一样的了
312排列
一个长度为 n n n的排列 a a a，只要满足 i < j < k i<j<k i<j<k且 a j < a k < a i a_j<a_k<a_i aj<ak<ai就称这个排列为 312 312 312排列
求 n n n的全排列中不是 312 312 312排列的排列个数
答案也是卡特兰数
我们考虑 312 312 312排列有什么样的特征
如果考虑一个排列能否被 1 , 2 , 3 , … , n − 1 , n 1,2,3,\ldots,n-1,n 1,2,3,…,n−1,n排列用进栈出栈来表示
那么 312 312 312排列就是所有不能被表示出来的排列
那么这个问题就被转化成进出栈问题了
不相交弦问题
在一个圆周上分布着 2 n 2n 2n个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的 2 n 2n 2n条弦彼此不相交的配对方案数
当 n = 4 n=4 n=4时，一种合法的配对方案为如图
合法的序列个数为 C 2 n n − C 2 n n − 1 C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} C2nn−C2nn−1
这个问题没有上面的问题那么显然，我们规定一个点为初始点，然后规定一个方向为正方向
如规定最上面那个点为初始点，逆时针方向为正方向
然后我们把一个匹配第一次遇到的点（称为起点）旁边写一个左括号 ( ( (，一个匹配第二次遇到的点（称为终点）旁边写一个右括号 ) ) )
如图
看出来吗，在规定了这样的一个顺序后，在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数
于是这又是一个卡特兰数列了
二叉树的构成问题
有 n n n个点，问用这 n n n个点最终能构成多少二叉树
答案仍然是卡特兰数列
这个问题不是用上面的方法，是用递归定义的卡特兰数
一个二叉树分为根节点，左子树，右子树
其中左子树和右子树也是二叉树，左右子树节点个数加起来等于 n − 1 n-1 n−1
设 i i i个点能构成 f i f_i fi个二叉树
我们枚举左子树有几个点可得
f n = f 0 ∗ f n − 1 + f 1 ∗ f n − 2 + … + f n − 1 ∗ f 0 f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+\ldots+f_{n-1}*f_{0} fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1∗f0
这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的
凸多边形的三角划分
一个凸的 n n n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案
答案还是卡特兰数列
我们在凸多边形中随便挑两个顶点连一条边，这个凸多边形就会被分成两个小凸多边形，由于每条直线不能相交，接下来我们就只要求这两个小凸多边形的划分方案然后乘起来即可
和二叉树的构成问题一样，我们枚举大凸多边形被分成的两个小凸多边形的大小即可
阶梯的矩形划分
一个阶梯可以被若干个矩形拼出来
图示是两种划分方式
像下图是不合法的划分方式
问，一个 n n n阶矩形有多少种矩形划分
答案仍然是卡特兰数列
我们考虑阶梯的每个角
如图
每个角一定是属于不同的矩形的，我们考虑和左下角属于一个矩形的是哪个角
这个矩形将这个梯形又分成两个小梯形，如图
于是我们又可以写出递推式了
和卡特兰数列的递归式是一样的
卡特兰数就讲这么多吧
