问题描述
给一张 n n n个点， m m m条边的简单无向图，求解有多少个三元环
三元环：一个三元组 ( i , j , k ) \left(i,j,k\right) (i,j,k)表示三个点，要求存在边 ( i , j ) , ( i , k ) , ( j , k ) \left(i,j\right),\left(i,k\right),\left(j,k\right) (i,j),(i,k),(j,k)
解决方法
定义点的大小
我们先把每个点 i i i定义一个双关键字 ( d e g i , i d i ) \left(deg_i,id_i\right) (degi,idi)，其中 d e g i , i d i deg_i,id_i degi,idi分别表示 i i i点的度数与编号，这样每个点就有了严格的大小关系
转为有向图
然后我们将这张无向图转变为有向图：把所有的边 ( i , j ) \left(i,j\right) (i,j)改为由关键字大的点向关键字小的点连边，这样我们就可以得到一张有向无环图
找环
找环分为三步
- 枚举一个点i ，将所有出边所连接的点标记为i
- 枚举一个由i 连出的点j
- 枚举所有由j 连出的点k ，若k有标记了且该标记为i ，就表明找到了一个三元环
这样做就保证了每个环只会被 i i i所找到
时间复杂度，最高为 O ( m m ) O\left(m\sqrt{m}\right) O(mm )
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