POI2015 WYC

原创

锐* 2021-12-27 15:02:04 博主文章分类：OIer做题记录 ©著作权

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D e s c r i p t i o n \mathcal{Description} Description

给定一张n个点m条边的带权有向图，每条边的边权只可能是1，2，3中的一种。将所有可能的路径按路径长度排序，请输出第k小的路径的长度，注意路径不一定是简单路径，即可以重复走同一个点。

( 1 ≤ n ≤ 40 ， 1 ≤ m ≤ 1000 ， 1 ≤ k ≤ 1 0 18 ) (1\leq n\leq 40，1\leq m\leq 1000，1\leq k\leq 10^{18}) (1≤n≤40，1≤m≤1000，1≤k≤1018)

S o l u t i o n \mathcal{Solution} Solution

死毒瘤题，打了一晚上，最后把自己的方法改的和其他人差不多了

边权不为 1 1 1，不好直接套用邻接矩阵，考虑把一个点拆开，让一条长度大于 1 1 1的路径要到一些没用的点使得它需要走多次才能走到它该到的点

把一个点 n n n拆为 n 0 , n 1 , n 2 n_0,n_1,n_2 n0,n1,n2，分别表示距离 n n n还有 0 / 1 / 2 0/1/2 0/1/2的距离，实际上， n 0 n_0 n0就是原本的点，我们称之为实点， n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2则是用来消耗路径长度的点，称之为虚点

先有 n 2 → n 1 , n 1 → n 0 n_2\ \rightarrow\ n_1,n_1\ \rightarrow \ n_0 n2 → n1,n1 → n0连边

对一条边 ( u , v , w ) \left(u,v,w\right) (u,v,w)，考虑由实点 u 0 u_0 u0走出去一步，那么距离 v v v就会减一，所以 u 0 u_0 u0向 v w − 1 v_{w-1} vw−1连一条边，即连边 ( u 0 , v w − 1 ) \left(u_0,v_{w-1}\right) (u0,vw−1)

现在我们可以对现在的矩阵做乘法和快速幂了，每个实点到实点的权值就是方案数

如现在是这个矩阵的 k k k次方，则矩阵上 ( u 0 , v 0 ) \left(u_0,v_0\right) (u0,v0)上的权值表示的就是从 u 0 u_0 u0出发，走 k k k步走到 v 0 v_0 v0的方案数

接下来考虑怎么求答案， k k k很大，自然地就想到了倍增，类似求 L C A LCA LCA一样的去确定答案即可

当然，直接对矩阵求 p p p次方，那么求出来的矩阵里的值表示的是刚好走 p p p步从某个位置走到某个位置的答案

为了方便的进行判断，我们需要把矩阵的值表示成走小于等于 p p p步的方案数

所以要考虑把走过的答案存下来，我们可以用 0 0 0号点表示所有的方案数

怎么用 0 0 0号点表示呢，考虑每次算出一个值后再算下一个值时将当前的答案放到 0 0 0号点去

所以对每个点实点 u 0 u_0 u0连一条 ( u 0 , 0 ) \left(u_0,0\right) (u0,0)的边即可，而每次计算不能把上次的答案丢了，所以还要连一条 ( 0 , 0 ) \left(0,0\right) (0,0)的边

这样当前矩阵的 0 0 0号点就表示着上一次的答案

我们再弄一个矩阵乘上当前矩阵就可以表示，这个矩阵 0 0 0向所有的实点连一条边即可

C o d e \mathcal{Code} Code

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年11月06日 星期三 18时58分03秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
#define ld long double
#define rint register int
using namespace std;
const int maxn = 130;
//{{{cin
struct IO{
  template<typename T>
  IO & operator>>(T&res){
    res=0;
    bool flag=false;
    char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0') flag|=ch=='-';
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    if (flag) res=~res+1;
    return *this;
  }
}cin;
//}}}
int n,lim,m;
ll k,ans;
//{{{Matrix
struct Matrix{
  ld mat[maxn][maxn];
  Matrix (bool opt=0){
    for (int i=0;i<=lim;++i)
      for (int j=0;j<=lim;++j)  mat[i][j]=opt&&(i==j);
  }
  ld* operator [] (const int &x){ return mat[x];}
  Matrix operator * (Matrix &b){
    Matrix a=*this,s;
    for (int i=0;i<=lim;++i)
      for (int j=0;j<=lim;++j)
        for (int k=0;k<=lim;++k)
          s[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
    return s;
  }
}g[maxn],s;
//}}}
inline int loc (int x,int i){ return (x-1)*3+i+1;}
inline ld sum (Matrix &a) { return a[0][0]-n; }
int main()
{
  freopen("p3597.in","r",stdin);
  freopen("p3597.out","w",stdout);
  cin>>n>>m>>k;
  lim=3*n;

  for (rint i=1;i<=n;++i){
    for (rint j=1;j<=2;++j) g[0][loc(i,j)][loc(i,j-1)]=1;
    g[0][loc(i,0)][0]=s[0][loc(i,0)]=1;
  }
  g[0][0][0]=1;

  for (rint i=1;i<=m;++i){
    int u,v,d;
    cin>>u>>v>>d;
    ++g[0][loc(u,0)][loc(v,d-1)];
  }


  int d;
  for (d=1;;++d){
    g[d]=g[d-1]*g[d-1];
    Matrix t=s*g[d];
    if (sum(t)>=k)  break;
    if (d>=64)  return printf("-1\n"),0;
  }

  for (rint i=d;~i;--i){
    Matrix t=s*g[i];
    if (sum(t)<k){
      s=t;
      ans+=(1ll<<i);
    }
  }

  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}