动态规划总结打家劫舍

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HelloWorld杰少 2022-10-24 10:24:35 ©著作权

文章标签 LeetCode 数组二叉树网易云音乐 文章分类 运维

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打家劫舍1

题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例1:

输入：[1,2,3,1] 输出：4 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例2:

输入：[2,7,9,3,1] 输出：12 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

解题思路

打家劫舍的问题是用动态规划解决的经典问题。

首先第一步：确定 dp 数组以及下标的含义，dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

第二步确定递推公式：如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i]，因为不能再考虑第i-1间房，所以最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]。

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

第三步，dp 数组初始化：从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

第四步，确定遍历顺序：dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

代码实现

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int length = nums.length;
        if(length == 1){
            return nums[0];
        }
        int[] dp = new int[length];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);

        for (int i = 2; i < length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);
        }
        return dp[length - 1];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组长度。只需要对数组遍历一次。
空间复杂度：O(1)。

打家劫舍2

题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4

示例3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

解题思路

之前我们已经做过一道打家劫舍的题目了，利用动态规划可以求解，本题与之前的题目唯一的区别在于成环了。

对于数组，成环主要有以下三种情况：

情况一：考虑不包含首尾元素例如，数组 [1,6,1,9,1], 我们考虑的情况就是下标从1~3的情况，也就是[6,1,9];

情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素例如，数组 [1,6,1,9,1], 我们考虑的情况就是下标从0~3的情况，也就是[1,6,1,9];

情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素例如，数组 [1,6,1,9,1], 我们考虑的情况就是下标从1~4的情况，也就是[6,1,9,1];

由于情况一已经被情况二和三所包含，所以我们在求解的时候，只需要包含后俩种情况即可。

代码实现

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if(nums.length == 0) return 0;
        if(nums.length == 1) return nums[0];

        // 包含首元素，不包含尾元素
        int value1 = RobRange(nums, 0, nums.length-2);
        // 包含尾元素，不包含首元素
        int value2 = RobRange(nums, 1, nums.length-1);

        return Math.max(value1, value2);
    }

    public int RobRange(int[] nums, int start, int{
        if(start == end) return nums[start];
        int[] dp = new int[nums.length];

        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start+1]);

        for(int i = start + 2; i <= end; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-2]+nums[i], dp[i - 1]);
        }

        return