一、数列
无穷多个数按照一定顺序排成一列叫数列。如：
1,1/2,1/3,1/4,...,1/𝑛,... (1)
1/2,2/3,3/4,4/5,...,𝑛/(𝑛+1),... (2)
2,4,8,16,...,2𝑛,... (3)
1,−1,1,−1,...,(−1)𝑛+1,... (4)
一般数列 𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛,... 简记成 {𝑥𝑛}1∞ ，其中的第 𝑛 项 𝑥𝑛 叫做数列的一般项。
二、数列的极限
极限的定义:描述性定义语言
数列极限定义之描述性定义：设 {𝑥𝑛}1∞ 为一个数列， 𝑎 为一个常数。如果当 𝑛 无限增大时， 𝑥𝑛 无限接近于 𝑎 ，则称 𝑎 为 {𝑥𝑛} 的极限，记作 lim→∞𝑥𝑛=𝑎
回到刚才提到的四个数列，我们根据描述性定义”当 𝑛 无限增大时“（即 𝑛→∞ ），可以轻松推出数列 𝑥𝑛 的极限值：
实际上我们对描述性定义不算满意，因为它描述说：“......当 𝑛 无限增大时， 𝑥𝑛 无限接近于 𝑎......" 那么究竟什么情况才算是“ 𝑥𝑛无限接近于 𝑎 ”呢？离多远才算是”无限接近“呢？显然描述性定义的这种说法没有进行定量描述。
所以下面我们寻求如何定量刻画“当 𝑛 无限增大时， 𝑥𝑛 无限接近于 𝑎" 这个事实。
我们以数列 {𝑥𝑛}={𝑛−1/𝑛}为例，来分析当 𝑛→∞ 时， 𝑥𝑛 是如何无限接近于 1 的，如下：
若要说明 当 𝑛→∞时，𝑥𝑛 无限接近于 1 ，只需说明 𝑥𝑛 与 1 的距离无限小，亦即只要说明 𝑛足够大|𝑥𝑛−1| 要多小就有多小。
综上，我们来归纳一下，什么时 𝑥𝑛 无限接近于 1 呢？实质上就是，对于任意给定的 正数𝜀 ,你要想让|𝑥𝑛−1|小于一个任意小的正数 𝜀 ，我总能找到一个 𝑁 项，使得数列 𝑥𝑛 从第 𝑁 项开始，以后的所有项都能满足|𝑥𝑛−1|<𝜀；
根据上面的分析，我们推广到更一般的情况：
“ 𝑥𝑛 无限接近于常数 𝑎 ”的实质是，对于任意的一个正数 𝜀 >0，无论 𝜀 有多么小，总存在正数 𝑁 ，使当 𝑛>𝑁 时（也就是第 𝑁 项之后的所有项），总能满足 |𝑥𝑛−𝑎|<𝜀 。如果我们理解了这个实质，那么我们就可以把极限的描述性定义过渡到极限的精确定义上。
（2）数列极限定义之精确定义：设 {𝑥𝑛} 为一数列， 𝑎 为一常数。如果对于任意给定的正数 𝜀 ，总存在正整数 𝑁 ，使当 𝑛>𝑁 时，不等式 |𝑥𝑛−𝑎|<𝜀 都成立，则称 {𝑥𝑛} 收敛于 𝑎 ，记作 lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑎 或 𝑥𝑛→𝑎(𝑛→∞) 。
数列没有极限又称数列是发散的。
三、数列极限及其性质
1.数列极限的性质
（1）.极限唯一性：数列 {𝑥𝑛} 如果有极限，那么极限是唯一的。
证明（反证法）：若不然，我们假设数列有两个极限，即 {lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑎 lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑏} 且 𝑎≠𝑏 。不妨设a<b
，令 𝜀0=(𝑏−𝑎)/2>0 。
根据极限的定义：
因为 lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑎 ，对 𝜀0=(𝑏−𝑎)/2>0，总能找到一个正数 𝑁1 ，使当 𝑛>𝑁1 时，|𝑥𝑛−𝑎|<𝜀0 恒成立，所以进一步得到
𝑥𝑛<𝑎+𝜀0=(𝑎+𝑏)/2 (1)
又因为 lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑏 ，对 𝜀0=(𝑏−𝑎)/2>0，总能找到一个正数 𝑁2 ，使当 𝑛>𝑁2 时，|𝑥𝑛−𝑏|<𝜀0 恒成立，所以进一步得到
𝑥𝑛>𝑏−𝜀0=(𝑎+𝑏)/2 (2)
取 𝑁=max{𝑁1,𝑁2} ，则当 𝑛>𝑁 时， 和(1)和(2) 都成立，即 {𝑥𝑛<(𝑎+𝑏)/2 𝑥𝑛>(𝑎+𝑏)/2 ，矛盾！所以如果数列有极限，那么极限不可能有多个，极限一定是唯一的！
(2).收敛数列的有界性：如果 {𝑥𝑛} 收敛，则{𝑥𝑛}有界。
首先来说一下什么是数列有界，数列有界和函数有界的定义是一样的。即，如果存在正数 𝑀 ，使 |𝑥𝑛|≤𝑀 对所有 𝑛 成立，则称数列 {𝑥𝑛} 有界。比如说数列 {𝑥𝑛}={𝑛/(𝑛+1)} , |𝑥𝑛|≤1 ，所以它有界；而对于数列{𝑥𝑛}={2𝑛} ，无论多大的一个数 𝑀 ,都能找到{𝑥𝑛}的一项，超过 𝑀 的值，所以是无界的。
(3).收敛数列与其子数列之间的关系：如果数列 {𝑥𝑛} 收敛于 𝑎 ，那么它的任一子列也收敛于 𝑎 。
注：反之，一个数列的子列收敛于 𝑎 ，那么能不能推出这个数列也收敛与 𝑎 呢？答案是否定的。比如数列 ，，，1，−1，1，−1,... 它的奇数项子列 ，，，1，1，1，... 显然收敛于 1 ，但是“母列”显然不收敛。所以一个数列的子列收敛于 𝑎 ，并不能推出这个数列也收敛与 𝑎。
