应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题：
- 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
- 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
- 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
- 例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法图解
-
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
-
文字描述
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 -
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
① 问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
② 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 -
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。 -
关于终点的说明：
① 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
② 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
看一个公交站问题：
- 有北京有新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
package kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalCase {
private int edgeNum; // 边的个数
private char[] vertexs; // 顶点数组
private int[][] matrix; // 邻接矩阵
// 使用INF表示两个顶点不可联通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
// 构造器
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
// 初始化顶点和边的个数
int vlen = vertexs.length;
// 初始化顶点
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
// 初始化边,实用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
// 统计边
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
// 打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为\n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%10d\t", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
// 克鲁斯卡尔算法
public void kruskal() {
int index = 0; // 表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; // 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
// 创建结果数组,保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];
// 获取图中所有边的集合,一共有12条边
EData[] edges = getEdges();
// System.out.println("边的集合为：" + Arrays.toString(edges));
// System.out.println("共有" + edges.length + "条边");
// 1. 按照边的权值大小排序（从小到大）
sortEdge(edges);
// 2. 遍历edges数组,将边添加到最小生成树，同时判断准备加入的边是否生成回路，如果没有，就加入rets，否则不加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
// 获取到第i条边的第一个顶点（起点）
int p1 = getPosition(edges[i].start);
// 获取到第i条边的第二个顶点（终点）
int p2 = getPosition(edges[i].end);
// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1);
// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2);
// 判断是否构成回路
if (m != n) {
// 没有构成回路
ends[m] = n; // 设置m在"已有最小生成树"的终点
rets[index++] = edges[i]; // 有一条边加入到rets数组
}
}
System.out.println("最小生成树为：");
// 统计并打印"最小生成树",输出rets
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
// 创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
static class EData {
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权值
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
// 重写toString
@Override
public String toString() {
return "[" +
"<" + start +
"," + end +
">=" + weight +
']';
}
}
/**
* 功能：对边进行排序处理（冒泡）
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdge(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
EData temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/**
* 功能：确定某个顶点的下标
*
* @param ch 传入顶点值,比如'A','B'
* @return 返回顶点下表，如果找不到返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 功能：获取图中的边，放到EData[]数组中，后面需要遍历该数组
* 通过matrix邻接矩阵获得
* EData[]形式：[['A','B',12],['B','F',7],...]
*
* @return 图中的边
*/
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能：获取下标为i的顶点的终点()，用于后面判断两个顶点的重点是否相同
* 进而判断新加入的顶点是否构成环
*
* @param ends 数组：记录各个顶点对应的终点是哪个，ends数组实在遍历过程中逐步形成的
* @param i 传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int[][] matrix = {
/*A*/ /*B*/ /*C*/ /*D*/ /*E*/ /*F*/ /*G*/
/*A*/{0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/{12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/{INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/{INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/{16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/{14, INF, INF, INF, 8, 9, 0},
};
// 创建KruskalCase
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
// 输出构建
// kruskalCase.print();
// EData[] edges = kruskalCase.getEdges();
// System.out.println(Arrays.toString(edges)); // 没有排序
// kruskalCase.sortEdge(edges);
// System.out.println(Arrays.toString(edges)); // 排序后
kruskalCase.kruskal();
}
}
