文章目录
- 写在前面
- 正文
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- 奈奎斯特-香农定理
- Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?
- 时域采样理论
- 阈值：每个周期两个样本
- 结论
写在前面
今天看到一个系列文章，外网上讲解的老生常谈的一个知识点，非常经典的知识点，学电子信息以及通信的人都熟知的定理：奈奎斯特采样定理。作为回顾，这里翻译过来，以供理解。
注：侵联删！
正文奈奎斯特采样定理，或更准确地说是奈奎斯特-香农定理，是控制混合信号电子系统设计的基本理论原理。
我们知道，没有模数转换和数模转换就不会存在现代技术。 实际上，这些操作已变得司空见惯，以至于说出模拟信号可以转换为数字然后再转换为模拟信号而不会造成任何重大信息损失，这听起来像是不言而喻。
但是我们怎么知道确实如此呢？ 当采样似乎会丢弃我们在各个采样之间观察到的如此多的信号行为时，为什么进行采样是非破坏性的操作？
我们如何从一个看起来像这样的信号开始：
数字化之后是这样的：
然后敢于声称可以在不丢失信息的情况下恢复原始信号？
奈奎斯特-香农定理
之所以可以提出这样的要求，是因为它符合现代电气工程最重要的原理之一：
如果系统以超过信号最高频率至少两倍的速率均匀采样模拟信号，则可以从采样产生的离散值中完美恢复原始模拟信号。
关于该定理，还有很多要说的，但首先，让我们尝试找出该定理。
Shannon? Nyquist? Kotelnikov? Whittaker?
我当然不是要决定谁在制定，论证或解释香农－奈奎斯特－科特尔尼科夫－惠特克采样和插值理论方面最值得赞赏的人。所有这四个人都有某种突出的参与。
但是，似乎哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）的作用已经超出了其最初的意义。例如，在Tan和Jiang的“数字信号处理：基本原理和应用”中，上述原理被确定为“香农采样定理”，而在Sedra和Smith的微电子电路中，我发现以下句子：可以对有限数量的样本进行处理……而忽略样本之间的模拟信号细节是基于……香农的采样定理。”
因此，我们可能应该避免使用“奈奎斯特采样定理”或“奈奎斯特采样理论”。如果需要将名称与该概念相关联，我建议我们仅包括香农，或者包括奈奎斯特和香农。实际上，也许是时候过渡到更匿名的名称了，例如“基本采样定理”。
如果您发现这有点令人迷惑，请记住上面提到的采样定理与奈奎斯特速率是不同的，这将在本文的后面进行解释。我认为没有人试图将Nyquist与他的速率区分开，因此我们最终做出了一个不错的妥协：Shannon得到了定理，而Nyquist得到了速率。
时域采样理论
如果将采样定理应用于频率fSIGNAL的正弦曲线，则要实现完美重构，必须以fSAMPLE≥2fSIGNAL采样波形。 换句话说，每个正弦周期至少需要两个样本。 首先，我们通过时域思考来理解这一要求。
在下图中，正弦波的采样频率远高于信号频率。
每个圆圈代表一个采样时刻，即精确的时刻，在该时刻测量模拟电压并将其转换为数字。
为了更好地可视化此采样过程给我们带来的好处，我们可以绘制样本值，然后将它们与直线连接。 下图所示的直线近似看起来与原始信号完全相似：采样频率相对于信号频率而言非常高，因此，线段与相应的弯曲正弦波段没有明显不同。
随着我们降低采样频率，直线近似的外观与原始图像有所不同。
20 samples per cycle (fSAMPLE = 20fSIGNAL)
10 samples per cycle (fSAMPLE = 10fSIGNAL)
5 samples per cycle (fSAMPLE = 5fSIGNAL)
在fSAMPLE = 5fSIGNAL时，离散时间波形不再是连续时间波形的令人满意的表示。 但是，请注意，我们仍然可以清楚地识别离散时间波形的频率。 信号的循环特性尚未丢失。
阈值：每个周期两个样本
采样产生的数据点将继续保持模拟信号的循环特性，因为我们将每个周期的采样数减少到五个以下。 但是，最终我们达到了频率信息损坏的地步。 考虑以下情节：
2 samples per cycle (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
当fSAMPLE = 2fSIGNAL时，正弦曲线形状完全消失。 尽管如此，由采样数据点产生的三角波并没有改变正弦曲线的基本周期性。 三角波的频率与原始信号的频率相同。
但是，一旦我们将采样频率降低到每个周期少于两个采样点，就无法再执行此声明了。 因此，对于原始波形中的最高频率，每个周期有两个采样是至关重要的阈值，在混合信号系统中，相应的采样频率称为奈奎斯特速率：
如果我们以低于奈奎斯特速率的频率对模拟信号进行采样，我们将无法完美地重建原始信号。
接下来的两幅图说明了当采样频率下降到奈奎斯特速率以下时发生的周期性等效损失。
2 samples per cycle (fSAMPLE = 2fSIGNAL)
1.9 samples per cycle (fSAMPLE = 1.9fSIGNAL)
在fSAMPLE = 1.9fSIGNAL时，离散时间波形从根本上获得了新的周期性行为。 完全重复采样模式需要一个以上的正弦周期。
但是，当每个周期有1.9个样本时，很难解释采样频率不足的影响。 下图使情况更加清楚。
1.1 samples per cycle (fSAMPLE = 1.1fSIGNAL)
如果您对正弦波一无所知，并使用在1.1fSIGNAL处采样产生的离散时间波形进行了分析，您将对原始信号的频率形成严重错误的想法。 此外，如果您只有离散数据，则不可能知道频率特性已损坏。 采样创建了一个新频率，该频率在原始信号中不存在，但是您不知道该频率不存在。
底线是：当我们以低于奈奎斯特速率的频率进行采样时，信息会永久丢失，并且原始信号也无法完美重建。
结论
我们已经介绍了香农采样定理和奈奎斯特速率，并且通过查看时域中的采样效果，试图对这些概念有所了解。 在下一篇文章中，我们将从频域的角度探讨这个主题。
