算法笔记

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ChatBot 2021-08-05 14:25:32 博主文章分类：OI

文章标签 子树康托展开结点线段树回文串 文章分类 数据结构与算法人工智能

本文用来记录我学习算法时的一些灵感和体会

欢迎各位神犇提出见解和指导～如有指正，不胜荣幸～

图论：

　　树链剖分：

　　　　静态树的对确定对象的维护/查询

　　　　UPD：zyf神犇说的吼：树链剖分就是一个特殊的dfs序，玛雅一看构造过程还真是在dfs……只是每次先走子树最大的儿子0.0，所以树链剖分其实也是可以搞子树的……OrzOrzOrz

　　点分治：

　　　　静态树上对不确定对象的查询（找经过x个黑点的最长路径）大部分就是找一些东西吧……

　　　　其实点分治的时候只需考虑一种情况：经过【根节点】的路径/方案。剩下的情况递归处理即可。

　　朱-刘算法：

　　　　不停找环->缩环的过程，直到没有环了以后直接累加。

　　dfs序：

　　　　将树转成序列进行操作，利用dfs时一进一出，保证了任何一条路径都可以用dfs序列上一段连续区间表示（多余部分一进一出自行抵消）

　　　　转成序列后即可使用线段树等数据结构进行维护……

　　树分块（块状树）：

　　　　dfs时每根号n 分一块，对于查询(x,y)按belong[x]为第一关键字、belong[y]为第二关键字排序。　

 1 用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。
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 3 　　用root来代表根结点，用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。
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 5 　　那么
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 7 　　S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u)
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 9 　　其中xor是集合的对称差。
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11 　　简单来说就是节点出现两次消掉。
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15 　　lca很讨厌，于是再定义
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17 　　T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u)
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19 　　观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化：
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21 　　T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU)
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23 　　T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU)
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25 　　取对称差：
26 　　T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU))
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28 　　由于对称差的交换律、结合律：
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30 　　T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xor S(root, targetV)
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32 　　两边同时xor T(curV, curU)：
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34 　　T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV)
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36 　　发现最后两项很爽……哇哈哈
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38 　　T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV)
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40 　　（有公式恐惧症的不要走啊 T_T）
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44 　　也就是说，更新的时候，xor T(curV, targetV)就行了。
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46 　　即，对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点，将它们的存在性取反即可。

【转移】（转自VFK博客）

　　虚树：

　　　　当树的规模较大时，我们可以只选出询问到的节点以及他们的LCA们，建立一棵虚树，虚树上的边的信息可以通过倍增求出（同LCA）这样可大大降低时间复杂度

　　　　求虚树的过程是一种模拟DFS的过程，先将所有的询问点按DFN排序，依次处理x与当前栈顶节点的LCA，按照深度关系找出祖先-后代or兄弟关系。

　　LCT动态维护MST：

　　　　拆边为点，一般将所有边都编一个固定的序号（不妨按权值序）然后为每条边都建一个结点，如果要连（u，v）这条边的时候就连接（u，tmp）和（v，tmp）

　　固定标号进行维护，如果修改权值也可直接在新建的结点上修改。

树型DP：

　　按序合并子树思想：

　　　　点分治例题FTOUR2中按序枚举子树，并与之前答案合并；以及BZOJ 3611大工程【依次枚举子树找最长（短）链】这个方法效率很高！

数论：

　　高斯消元：

　　　　初中学的加减消元的程序化

　　霍纳法则：

　　　　参见高中数学课本人教版·必修三【秦九韶算法】　　

　　欧拉函数：关键词：互质、最大公约数……（目前看好像是？以后再补充吧……）

　　线性同余方程组：

　　BSGS：分块的思想！！（莫队……）需要的基础知识：快速幂，逆元/费马小定理（欧拉定理）

　　　　模板题：【BZOJ】【3239】Discrete Logging

　　　　　　　　【BZOJ】【2242】【SDOI2011】计算器

　　生成函数+FFT算组合数：【BZOJ】【3771】Triple

　　莫比乌斯函数&反演：

　　Burnside & Pólya:【Burnside定理】&【Pólya定理】

动态规划：

数位DP：预处理和分类讨论是关键= =，合理利用容斥可以反过来求……

插头DP：状态逐格转移，分情况讨论，状态的设计是关键= =好像目前我懂得的就这么点……so sad

四边形不等式：论文的主体思想：w有四边形性质 --> m有四边形性质 --> 转移状态 s 可以限制到一个较小的范围内（降低复杂度目标达成）

DP优化类型总结

数据结构：

　　树套树：在外层的树状数组/线段树中套一个平衡树，可以有效解决许多满足区间加/减法的运算，比如各种前缀和……第k大的数，或是比v大/小的数的和，二维坐标下的前缀和？之类的……见【BZOJ】【3262】陌上花开

　　回文自动机：类似AC自动机的东西？我们处理回文子串是否相同的时候，很想用类似字典树的方式来存，但是由于是回文串= =所以不太方便用字典树上的一条链存整个回文串……那么我们可以只存回文串的一半！这样就可以实现在原串的基础上加一个字符来表示另一个回文串了！就可以用字典树来表示了！再结合AC自动机……回文自动机就诞生啦= =（好吧其实还有其他不同）

　　可持久化Trie：跟可持久化线段树构造方式很类似？然而记录一下id，查询方式也很类似……？2333

　　可持久化并查集：用可持久化线段树维护fa和size的历史版本即可

计算几何：

　　然而蒟蒻并不怎么会计算几何……

　　先记录一些中学数学知识吧：（QAQ）

　　与向量(x,y)垂直的向量有(y,-x)和(-y,x)，长度的话自己再搞搞就好了，这个可以拿来搞平行线，然而用的时候要注意方向，一个是左边（向量(y,-x)），一个是右边（向量(-y,x)）

　　然后是一些算法：

　　半平面交：增量算法 $O(n^2)$ 维护一个“凸包”，初始为一个大矩形框，然后用直线去截它，截的过程是：依次枚举“凸包”上的每个点，如果在直线左边则将它继续放到新的凸包中，否则就丢掉，同时判断如果连续的两个凸包上的顶点在直线异侧，则说明产生了一个新的交点，要找到这个直线与凸包的交点并加入到新的“凸包”中。

【POJ】【3525】Most Distant Point from the Sea

【POJ】【2068】Art Gallery

　　然而半平面交并不一定要用这种做法，有的题目中其实是维护一个单调性，可以直接用斜率维护。

【BZOJ】【1007】【HNOI2008】水平可见直线

【BZOJ】【1038】【ZJOI2008】瞭望塔

　　凸包：卷包裹法 $O(nlog(n))$ 算法的瓶颈其实是在排序，所以带了log，然而蒟蒻并不怎么会写……大致嘴巴一下好了：搞出一个水平序，即以x坐标为第一关键字，y坐标为第二关键字，从小到大排序，然后取最左边的点，以它为起始点开始卷包裹，即判断斜率，然后就得到了一个下凸壳；接着再以最右边的点以相同姿势反过来搞一遍，就得到了上凸壳，ok啦~

　　进阶版：用数据结构来维护半平面交和凸包，然而蒟蒻并不会……

杂记：

　　BZOJ 3437：“像这题这种要求“阶梯形求和”的，基本都是利用矩形和$\sum a[i]*i=s[i]*i$ 以及阶梯形和 $ \sum (a[i]*i) $两种前缀和加加减减拼凑出来的）” 与这题类似的还有POJ 3468（那个区间修改区间求和的数据结构题）

　　【BZOJ】【1006】【HNOI2008】神奇的国度：在别人的博客里看到一个总结（原谅我忘了是哪位神犇以及具体内容了）：完美消除序列之于弦图就好似拓扑序列之于DAG，所以弦图的问题许多都要靠这个完美消除序列来做。