P3265 [JLOI2015]装备购买（高斯消元+贪心，线性代数）

题意;

有n个装备，每个装备有m个属性，每件装备的价值为cost。

小哥，为了省钱，如果第j个装备的属性可以由其他准备组合而来。比如

每个装备属性表示为， b1, b2.......bm . 它可以由其他2个装备组合而成，则

b1=k1*a1+h1*c1.  b2=k1*a2+h2*c1.......bm=km*am+hm*cm这样的话，把属性看做是向量，是不是相当于2个m维度的向量，线性的表示了第三个向量呢？

那么，题目的意思就是在n个向量中，找出一组基，并且这一组基的价值和最小。

这相当于把这些向量先放进一个矩阵中，这里出现了一个问题，那就是这些向量是按什么样的顺序放的。其实，我们是按价值从小到大依次从上向下放。至于为什么，后面会讲。

当这样一个矩阵构造好了之后，我们回到原问题。我们求在n个向量中，找出一组基，并且这一组基的价值和最小。

那么这一组基其实就是矩阵的极大无关组。而求极大无关组，直接运用高斯消元就行了。但是在这个题中我们需要改变一般高斯消元中主元的选择（一般高斯消元一般选择某一列中最大值（不懂的自己查一下代码））

我们的主元是这样的，枚举从1到m的列，第一个不为0的所在行作为主元。 可能不太明白，我举个例子

　　　　　　　　　　这样，先枚举[1][1]=0; 枚举下一个[1][2]!=0 则，列2的主元就是第一行了，并把它记录在p[2]=1中，后面跳出，枚举第2行

[2][1]!=0则，p[1]=2;跳出, 枚举第3行，因为第1列的主元已经有了，然后第2行把第3行进行消元。完成后，枚举到第2列，然以用第2列的主元第1行，消第3行的元，然后依次类推。那么最后的个数和代价就是基的个数和基的价值。为什么这样？你是不是已经发现，选择的主元肯定是第一，第二前面的行。我们刚刚放入向量的价值从上到下是从小到大的，这样就是一个贪心。

代码：

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 505
const long double eps = 1e-8;
struct node
{
    long double x[maxn];
    int  cost;
}a[maxn];
int n, m, p[maxn], cnt;
int sum;
bool cmp(node a, node b){
    return a.cost < b.cost;
}
void guass()
{
    for (int i = 1; i <= n;++i)
    for (int j = 1; j <= m; ++j)
    {
        if (abs(a[i].x[j])>eps)        //当矩阵【i】【j】>0时，
        {
            if (!p[j])
            {
                p[j] = i;
                cnt++; sum += a[i].cost;
                break;
            }
            else
            {
            long double t = a[i].x[j] / a[p[j]].x[j];
                for (int k = j; k <= m; ++k)
                    a[i].x[k] -= a[p[j]].x[k] * t;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n;++i)
    for (int j = 1; j <= m; ++j)
        cin >> a[i].x[j];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i].cost;
    sort(a + 1, a + n+1, cmp);
    guass();
    //printf("%d %d\n", cnt, sum);
    cout << cnt << " " << sum << endl;
}

 

 

 

代码