AcWing - 求组合数 IV(分解质因数)

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/890/
时/空限制：1s / 64MB

题目描述

输入a,b，求的值。

注意结果可能很大，需要使用高精度计算。

输入格式

共一行，包含两个整数a和b。

输出格式

共一行，输出Cab的值。

数据范围

1≤b≤a≤5000

输入样例

5 3

输出样例

10

解题思路

题意:求的值

思路:当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
假设A = p^a1*p^a2*...*p^ak，B = p^b1*p^b2*...*p^bk，则A/B = p^(a1-b1)*p^(a2-b2)*...*p^(ak-bk)。

    1. 筛法求出范围内的所有质数。
    2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。
       n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
    3. 用高精度乘法将所有质因子相乘。

Accepted Code:

/* 
 * @Author: lzyws739307453 
 * @Language: C++ 
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 5005;
bool isp[MAXN];
int cnt = 0;
int pre[MAXN], rat[MAXN];
void prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!isp[i])
            pre[cnt++] = i;
        for (int j = 0; j < cnt && pre[j] <= n / i; j++) {
            isp[i * pre[j]] = true;
            if (!(i % pre[j]))
                break;
        }
    }
}
int rate(int n, int p) {
    int res = 0;
    while (n) {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}
vector <int> Mul(vector <int> a, int b) {
    vector <int> p;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        t += a[i] * b;
        p.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t) {
        p.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return p;
}
int main() {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    prime(a);
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        int p = pre[i];
        rat[i] = rate(a, p) - rate(b, p) - rate(a - b, p);
    }
    vector <int> res;
    res.push_back(1);
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        for (int j = 0; j < rat[i]; j++)
            res = Mul(res, pre[i]);
    }
    for (int i = res.size() - 1; ~i; i--)
        printf("%d", res[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}