题目

【DP】递增递减_题组

思路

dp[i][j]表示当前选了i个数,所有的数都小于等于第j个区间的方案数

sum[i][j]表示当前选了i个数,所有的数都小于等于第j个区间的合法方案的和

考虑转移

区间有x个数字,可重复选出y个数字组成单调不增序列的方案数,可以转换为有x个桶,放y个小球的方案数。那么用隔板法我们知道方案数为C(x+y−1,x−1)
这样前面的总和要乘上这么多的方案数。然后再看当前新加的数字的贡献:因为是所有方案的总和,所以可以取平均,在[l,r]选一个数字相当于贡献(r+l)/2 。那么选y个对dp(i,j) 的额外贡献为:
单个数字贡献∗数字个数∗前面区间选取的方案数∗当前区间可以选取的方案数 单个数字贡献数字个数 前面区间选取的方案数 * 当前区间可以选取的方案数单个数字贡献∗数字个数∗前面区间选取的方案数∗当前区间可以选取的方案数

sum[i][j]转移就是
sum[i][j]=((sum[i][j]+1ll *sum[k-1][j-1] *C%mod)%mod+1ll *dp[k-1][j-1] *C%mod *ave%mod *num%mod)%mod;

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=109;
const int mm=998244353;
 
int n;
long long L[maxn],R[maxn];
 
int m;
long long b[maxn];
long long c[maxn];
 
long long f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
 
long long inv[maxn];
long long C(long long n,int m){
    if(n<0||m<0||n<m)return 0;
    long long ret=1;
    for(long long i=n-m+1;i<=n;++i)ret=ret*(i%mm)%mm;
    for(int i=1;i<=m;++i)ret=ret*inv[i]%mm;
    return ret;
}
long long h(long long n,int m){
     
    return C(n+m-1,m);
}
long long s[maxn][maxn];
 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=50;++i)inv[i]=inv[mm%i]*(mm-mm/i)%mm;
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&L[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&R[i]);
     
    for(int i=1;i<=n;++i){
        b[m++]=L[i]-1;b[m++]=R[i];
    }
    sort(b,b+m);
    m=unique(b,b+m)-b-1;
    for(int i=1;i<=m;++i)c[i]=(b[i]-b[i-1])%mm;
    for(int j=1;j<=m;++j){
        for(int i=1;i<=n;++i){
            s[j][i]=h(c[j],i);
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;++i)f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            f[i][j]=f[i][j-1];g[i][j]=g[i][j-1];
            for(int k=i;k>=1;--k){
                if(b[j]<L[k]||b[j]>R[k])break;
                long long t=s[j][i-k+1];
                f[i][j]=(f[i][j]+f[k-1][j-1]*t)%mm;
                g[i][j]=(g[i][j]+g[k-1][j-1]*t
                        +f[k-1][j-1]*(b[j]%mm+b[j-1]%mm+1)%mm*(i-k+1)%mm*t%mm*inv[2])%mm;
            }
        }
    }
    long long ans=0;
    printf("%lld\n",g[n][m]);
    return 0;
}