堆，堆的创建，插入，删除，建立

原创

wx60dc8ce39e154 2021-07-12 16:17:44 ©著作权

文章标签 数据结构数据结构心法指南算法算法与数据结构数据结构学习 文章分类 深度学习人工智能

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什么是堆

优先队列（（Priority Queue ）：特殊的“ 队列” ，取出元素的顺序是依照元素的 优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

优先队列的完全二叉树表示

堆，堆的创建，插入，删除，建立_算法与数据结构

堆的两个特性

结构性：用数组表示的完全二叉树；
有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)

“最大堆(MaxHeap) ”, 也称“ 大顶堆 ”：最大值
“最小堆( MinHeap) ”, 也称“ 小顶堆 ” ：最小值

堆的抽象数据类型描述

类型名称： 最大堆（MaxHeap）
数据对象集： 完全二叉树 ，每个结点的元素值 不小于值其子结点的元素值
操作集：最大堆H属于MaxHeap ，元素item属于ElementType ，主要操作有：

MaxHeap Create( int MaxSize )：创建一个空的最大堆。
Boolean IsFull( MaxHeap H )：判断最大堆H是否已满。
Insert( MaxHeap H, ElementType item )：将元素item插入最大堆H。。
Boolean IsEmpty( MaxHeap H )：判断最大堆H是否为空。
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )：返回H中最大元素（高优先级）

最大堆的操作

最大堆的创建

#define Elemtype int
typedef struct HNode {
	Elemtype *Data; /* 存储元素的数组 */
	int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
	int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
}*Heap;

MaxHeap CreateHeap(int MaxSize)
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */

	MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
	H->Data = (Elemtype *)malloc((MaxSize + 1)*sizeof(Elemtype));//堆元素从下标为1的位置开始存放
	H->Size = 0;
	H->Capacity = MaxSize;
	H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
	return H;
}

把MaxData换成小于堆中所有元素的MinData，同样适用于创建最小堆。

最大堆的插入

先满足结构性，将要插入元素插到最后一个，再调整位置，满足有序性
首先将新插入的元素放在最后一个位置，在与其父节点比较，调整其位置。
堆，堆的创建，插入，删除，建立_算法与数据结构_03

bool Insert(MaxHeap H, Elemtype X)
{ /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
	int i;

	if (IsFull(H))
	{
		printf("最大堆已满");
		return false;
	}
	i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
	for (; H->Data[i / 2] < X; i /= 2)
		H->Data[i] = H->Data[i / 2]; /* 上滤X */
	H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
	return true;
}

H->Element[ 0 ] 是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素。当插入的元素比任意元素都大，哨兵的存在使得H->Elements[0] > item; 顺环结束。
时间复杂度： O(log N)

最大堆的删除

取出根结点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点。
用最后一个结点代替根结点，取根结点两孩子的较大的一个，若较大值大于此时的根节点，将该较大值移动至根结点，不断重复，直到找到最后一个结点该插入的位置。
堆，堆的创建，插入，删除，建立_算法_04

Elemtype DeleteMax(MaxHeap H)
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */
	int Parent, Child;
	Elemtype MaxItem, X;

	if (IsEmpty(H)) {
		printf("最大堆已为空");
		return ERROR;
	}

	MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
	/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
	X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
	for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child)
	{
		Child = Parent * 2;
		if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
			Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
		if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
		else  /* 下滤X */
			H->Data[Parent] = H->Data[Child];
	}
	H->Data[Parent] = X;
	return MaxItem;
}

最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。

方法2：在线性时间复杂度下建立最大堆。

将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性。

参考结点的删除，从最后一个结点的父节点开始，逐级向上，调整结点位置，调整到根结点时，即为大顶堆

/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown(MaxHeap H, int p)
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
	int Parent, Child;
	Elemtype X;

	X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
	for (Parent = p; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child) {
		Child = Parent * 2;
		if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
			Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
		if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
		else  /* 下滤X */
			H->Data[Parent] = H->Data[Child];
	}
	H->Data[Parent] = X;
}

void BuildHeap(MaxHeap H)
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  */
	/* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
	int i;
	/* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */
	for (i = H->Size / 2; i>0; i--)
		PercDown(H, i);
}

线性时间复杂度
T(n)=O(n)

层数	节点数	最多交换的次数
倒数第2层	n/4	1
倒数第3层	n/8	2
倒数第4层	n/16	3
…	…	…
第1层	n/2^k=1	log₂n - 1=k-1

堆，堆的创建，插入，删除，建立_数据结构学习_05
完整c++代码

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define Elemtype int
#define MAXDATA 1000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */

typedef struct HNode {
	Elemtype *Data; /* 存储元素的数组 */
	int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
	int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
}*Heap;

typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */

MaxHeap CreateHeap(int MaxSize)
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */

	MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
	H->Data = (Elemtype *)malloc((MaxSize + 1)*sizeof(Elemtype));
	H->Size = 0;
	H->Capacity = MaxSize;
	H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
	return H;
}

bool IsFull(MaxHeap H)
{
	return (H->Size == H->Capacity);
}

bool Insert(MaxHeap H, Elemtype X)
{ /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
	int i;

	if (IsFull(H))
	{
		printf("最大堆已满");
		return false;
	}
	i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
	for (; H->Data[i / 2] < X; i /= 2)
		H->Data[i] = H->Data[i / 2]; /* 上滤X */
	H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
	return true;
}

#define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */

bool IsEmpty(MaxHeap H)
{
	return (H->Size == 0);
}

Elemtype DeleteMax(MaxHeap H)
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */
	int Parent, Child;
	Elemtype MaxItem, X;

	if (IsEmpty(H)) {
		printf("最大堆已为空");
		return ERROR;
	}

	MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
	/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
	X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
	for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child)
	{
		Child = Parent * 2;
		if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
			Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
		if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
		else  /* 下滤X */
			H->Data[Parent] = H->Data[Child];
	}
	H->Data[Parent] = X;
	return MaxItem;
}

/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown(MaxHeap H, int p)
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
	int Parent, Child;
	Elemtype X;

	X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
	for (Parent = p; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child) {
		Child = Parent * 2;
		if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
			Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
		if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
		else  /* 下滤X */
			H->Data[Parent] = H->Data[Child];
	}
	H->Data[Parent] = X;
}

void BuildHeap(MaxHeap H)
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  */
	/* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
	int i;
	/* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */
	for (i = H->Size / 2; i>0; i--)
		PercDown(H, i);
}

int main()
{
	Heap heap = CreateHeap(20);
	int a[13] = { MAXDATA, 79, 66, 43, 83, 30, 87, 38, 55, 91, 72, 49, 9 };
	int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);

	heap->Data = a;
	heap->Size = len-1;
	BuildHeap(heap);
	for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
		cout << heap->Data[i]<<" ";
	cout << endl << endl;

	cout << DeleteMax(heap) << endl;
	for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
		cout << heap->Data[i] << " ";
	cout << endl << endl;

	if (Insert(heap, 99))
	{
		for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
			cout << heap->Data[i] << " ";
	}
}