问题描述
x 轴是海岸线,x 轴上方是海洋。海洋中有 n(1<=n<=1000) 个岛屿,可以看作点。给定每个岛屿的坐标 (x,y),x,y 都是整数。当一个雷达(可以看作点)到岛屿的距离不超过 d (整数),则认为该雷达覆盖了该岛屿。雷达只能放在 x 轴上。问至少需要多少个雷达才可以覆盖全部岛屿。原题地址
输入:
输入包含几个测试用例。 每种情况的第一行包含两个整数 n(1 <= n <= 1000)和 d,其中 n 是海中岛屿的数量,d 是雷达装置的覆盖距离。 接下来是 n 行,每行包含两个整数,表示每个岛的位置坐标。 然后是一个空白行来分隔案例。
输入由包含零对的行终止
输出:
一行包含测试用例编号,最少雷达数量。 没有解决方案输出雷达数为-1。
Sample Input
3 2
1 2
-3 1
2 1
1 2
0 2
0 0
Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 1
问题分析
对每个岛屿 P,可以算出,覆盖它的雷达,必须位于 x 轴上的区间 [Ps,Pe]。如果有雷达位于某个 x 轴区间 [a,b],称该雷达覆盖此区间。问题转换为,至少要在 x 轴上放几个雷达(点),才能覆盖全部区间 [P1s,P1e],[P2s,P2e]…[Pns,Pne]
重要结论:如果可以找到一个雷达同时覆盖多个区间,那么把这多个区间按起点坐标从小到大排序,则最后一个区间(起点最靠右的) k 的起点,就能覆盖所有区间。
有了这个结论,就可以只挑区间的起点来放置雷达了。
贪心算法:
- 将所有区间按照起点从小到大排序,并编号0 ~ (n-1)
- 依次考察每个区间的起点,看要不要在那里放雷达。开始,所有区间都没被覆盖,所以目前编号最小的未被覆盖的区间的编号firstNoConverd = 0。
- 考察一个区间 i 的起点 xi 的时候,要看从 firstNoCovered 到区间 i-1 中是否存在某个区间 c ,没有被 xi 覆盖。如果没有,则先不急于在 xi 放雷达,接着往下看。如果有,那么 c 的终点肯定在 xi 的左边,因此不可能用同一个雷达覆盖 c 和 i。即能覆盖 c 的点,已经不可能覆盖 i 和 i 后面的区间了。此时,为了覆盖 c,必须放一个雷达了,放在区间 i-1 的起点即可覆盖所有从 firstNoCovered 到 i-1 的区间。
- 放完雷达后,将 firstNoCovered 改为 i,再做下去。
复杂度: O(n2)
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//海岛在x轴上的投影区间
struct Interval {
double left; // 左端点在x轴上的坐标
double right; // 右端点在x轴上的坐标
};
bool compare(Interval a, Interval b) {
return a.left <= b.left;
}
//求最少放多少个雷达,intervals:区间集合, size:区间个数
int solve(Interval* intervals, int size)
{
sort(intervals, intervals + size, compare);
int count = 1;
double right = intervals[0].right;
for (int i = 1; i < size; i++)
{
if (intervals[i].left > right) //区间 i 与区间 i-1 无交集
{
count++;
right = intervals[i].right;
}
else if (intervals[i].right < right) //区间 i 在区间 i-1 内部
right = intervals[i].right;
// 剩下的都是区间 i 与区间 i-1 相交
}
return count;
}
int main()
{
int island, radius, testCase = 0;
while ((cin >> island >> radius) && island && radius)
{
const double R2 = radius * radius; //半径平方
Interval* intervals = new Interval[island];
bool isSolvable = true;
for (int i = 0; i < island; i++)
{
double x, y;
cin >> x >> y;
if (y > radius) //存在海岛不在雷达的最大影响范围,无解
isSolvable = false;
double offset = sqrt(R2 - y * y); //勾股定理
intervals[i].left = x - offset;
intervals[i].right = x + offset;
}
int minRadar = (isSolvable ? solve(intervals, island) : -1);
cout << "Case " << ++testCase << ": " << minRadar << endl;
delete[] intervals;
}
return 0;
}