本文完整阅读需要的基础知识：循环结构，数组，函数，递归。
n个由小到大排好序的数,再给一个数x,判断这个数在数组中有没有出现过,如果有,就输出这个数在数组的位置,没有就输出”NO”. 样例:输入:
6 //以下有6个数 1 4 6 8 9 10 9 //要找的x
输出: 5 //第5个数 方法:如果采用顺序查找,要经过5次才找到。
而用折半查找,开始的比较区间是1-6, 先取中间一个数,即第3个数6,
9比6大,说明在6的后面,下面就把区间变成4-6,
取中间数,即第5个数9,正好找到,这样总次数变成2次查找。
现在我们要完成这样的任务：如何在数组a的区间[first,last]内寻找key，其中a数组是有序的， 我们假设非降次序的（即：a[ first ] <= a[ first+1 ] <= … <= a[ last ] ） 中搜索key， 找到key时返回其在数组中的位置，否则返回-1 。
顺序查找（从头到尾查找一遍）
int binarySearch(int a[], int first int last, int key) {
for (int i=first; i<=last; i++)
if (a[i]==key) return i;
return -1;
}
普通的二分查找（非递归）
int binarySearch(int a[] , int first, int last, int key) {
int left = first;
int right = last;
while (left <= right) {
int mid = (left + right)/2; // mid = left + ((right- left) / 2);
if (key == a[mid])
return mid;
else if (a[mid] < key )
left = mid + 1;
else if( a[mid] > key)
right = mid - 1;
}
return -1; // 未找到key
}
用递归算法完成二分查找
int binarySearch(int a[], int first ,int last, int key) {
// 找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1
if ( first > last) return -1;// 未找到x
else {
int mid = ( first + last)/2;
if (a[mid]==key)
return mid;
else if ( a[mid]< key )
return binarySearch(a, mid+1,last ,key);
else if( a[mid] > key)
return binarySearch( a, first, mid-1, key);
}
}
提醒：
注意查找的范围【first，last】,每次查找的范围：前后都是闭区间的范围。
注意 while(first <= last)循环（递归同理）的终止条件是： first 与 last错位, 即 first == last + 1
##常犯的错误：竟然找不到某些数字
分析代码：为啥 找不到数字13呢？
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =10;
int a[12]= {0 ,5, 13,19, 21,37,56,64,75,80,88,92};
int my_research(int L, int R, int key) {
int first = L, last = R;
while(first < last) { //这里有错误噢
int middle = (first+last)/2;
if( a[middle]==key)
return middle;
else if( a[middle] < key )
first = middle+1;
else if( a[middle] > key )
last=middle-1;
}
return -1;
}
int main() {
cout << my_research(1, 11,13);
return 0;
}
火急提醒：while(first < last) 循环的终止条件是：first == last， 当first == last时候，【first，last】区间内还有一个值，但可惜循环已经结束了。
如果要查找有序数组里面的存在多个元素key， 要找到最左边的和最右边的位置呢？
留意一下：lower_bound 和 upper_bound 分别返回哪位置。
lower_bound : 二分查找求下界
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =10;
int a[12]= {0 ,5, 13,21, 21,21,21,64,75,80,88,92};
int my_lower_bound(int L, int R, int key) {
int first = L, last = R;
while(first <= last) {
int middle = (first+last)/2;
if( a[middle] == key )
last = middle-1; // first 按兵不动， last移动
else if( a[middle] > key )
last = middle-1;
else if( a[middle] < key )
first = middle+1;
}
return first;
}
int main() {
cout << my_lower_bound(1, 12,21);
return 0;
}
若 a[middle] ==key ,至少已经找到一个，然后左边可能还有， 因此区间变成 【first , middle】
若 a[middle] > key ,所找的位置，不可在后面, 因此区间变成【first , middle -1】
若 a[middle] < key ,所找的位置不可能是middle，也不可能在前面 因此区间变成 【middle+1， last】
upper_bound:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =10;
int a[12]= {0 ,5, 13,21, 21,21,21,64,75,80,88,92};
int my_upper_bound(int L, int R, int key) {
int first = L, last = R-1;
while(first <= last) {
int middle = (first+last)/2;
if( a[middle] == key )
first = middle+1; // last 按兵不动，first移动
else if( a[middle] > key )
last = middle-1 ;
else if( a[middle] < key )
first = middle+1;
}
return last;
}
int main() {
cout << my_upper_bound(1, 12,21);
return 0;
}
思考：如果有序数组里面的不存在元素key
如果有序数组里面的不存在元素key
lower_bound 中的first位置停在哪里？
返回一个非递减序列 [ first, last ] 中的。当key存在多个时，返回key出现的第一个位置。 若果不存在，first停在第一个大于key的位置，即返回一个这样的下标： 在此处插入key，序列依然有序。
return ( first < length && a[first] == key ) ? first : -1;
upper_bound的last位置停在哪里呢？
返回一个非递减序列[ first, last ]中。当key存在多个时，返回key出现的最后一个位置。若果不存在， right停在第一个大于key的位置，即返回一个这样的下标： 在此处插入key，序列依然有序。
return ( last > 0 && a[last] == key ) ? last : -1;
你经常遇到的死循环
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =10;
int a[12]= {0 ,5, 13,21, 21,21,21,64,75,80,88,92};
int wrong_lower_bound(int L, int R, int key) {
int first = L, last = R;
while(first <= last) {
int middle = (first+last)/2;
if( a[middle] == key )
last = middle;
else if( a[middle] > key )
last = middle-1;
else if( a[middle] < key )
first = middle+1;
}
return first;
}
int main() {
cout << wrong_lower_bound(1, 12,21);
return 0;
}
bug出现在这里： if( a[middle] == key ) last = middle; 如果first ==last ， middle = (first+last)/2 = first位置。 [first, middle] 与[fist, last]区间一样，将发生死循环。
说白了就是因为mid=（first+last）/2不会取到last值
为了这篇完整性，特地安排了这一节。具体细节日后再解析。
二分答案（不只是查找值）题目描述中若出现类似： “最大值最小”的含义，这个答案就具有单调性，可用二分答案法。这个宏观的最优化问题，可以抽象为一个函数，其“定义域”是该问题的可行方案。
满足 >=x的范围中查找最小的一个
考虑“求某个条件C(x)的最小x” ，这个问题，对于任意满足C(x)的x，如果所有的x’ > x 也满足C（x’）的话，这个问题可以想像成一个特殊的单调函数，在s的一侧不合法，在s的另一侧不合法，我们就可以用二分法找到某得分界点。
查找满足 <=x 的范围中的最大的一个。
实数区域上的二分
确定好精度 以 L + esp < R 为循环条件 ,一般需要保留2位小数时候，则取精度eps = le-4
while（ L+ esp < R） {
double mid = (L + R) /2
if ( ) R = middle
else L = middle
}
或者干脆采用循环固定次数的方法，也是不错的策略
for(int i=0; i<100; i++) {
double middle = (L+R) /2;
if( ) L=middle;
else R =middle
}
