问题：两条平行线可以相交。
在欧几里得空间（几何）中，同一平面上的两条平行线不能相交，也不能永远相交。这是每个人都熟悉的常识。
然而，在投影空间中则不再如此，例如，侧面图片中的火车铁路在远离眼睛的同时变得更窄。最后，两条平行的轨道在地平线上相遇，这是无穷远处的一个点。
欧几里得空间（或笛卡尔空间）很好地描述了我们的 2D/3D 几何，但它们不足以处理射影空间（实际上，欧几里德几何是射影几何的一个子集）。二维点的笛卡尔坐标可以表示为( x, y )。
如果这个点远离无穷远呢？无穷远处的点将是 (∞,∞)，它在欧几里得空间中变得毫无意义。平行线在射影空间中应该在无穷远处相交，而在欧几里得空间中则不能。数学家已经找到了解决这个问题的方法。
解决方案：齐次坐标
August Ferdinand Möbius 引入的齐次坐标使投影空间中的图形和几何计算成为可能。齐次坐标是用 N+1 个数字表示 N 维坐标的一种方式。
为了制作二维齐次坐标，我们只需在现有坐标中添加一个额外的变量w。因此，笛卡尔坐标中的点(X, Y)变为齐次坐标中的(x, y, w)。而笛卡尔坐标中的X和Y用Homogeneous 中的x、y和w重新表示为；
X = x/w
Y = y/w
例如，笛卡尔坐标 (1, 2) 中的点在 Homogeneous 中变为 (1, 2, 1)。如果点 (1, 2) 向无穷远移动，则它在笛卡尔坐标中变为 (∞,∞)。它在齐次坐标中变成 (1, 2, 0)，因为 (1/0, 2/0) ≈ (∞,∞)。请注意，我们可以在不使用“∞”的情况下表示无穷远处的点。
为什么叫“同质”？
如前所述，为了将齐次坐标(x, y, w) 转换为笛卡尔坐标，我们只需将x和y除以w；
将 Homogeneous 转换为 Cartesian，我们可以发现一个重要的事实。让我们看下面的例子；
如您所见，点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应于同一个欧几里得点 (1/3, 2/3)。并且任何标量积，(1a, 2a, 3a) 都与欧几里得空间中的 (1/3, 2/3) 相同。因此，这些点是“齐次的”，因为它们代表欧几里得空间（或笛卡尔空间）中的同一点。换句话说，齐次坐标是尺度不变的。
证明：两条平行线可以相交。
考虑欧几里得空间中的以下线性系统；
我们知道由于C ≠ D，上述方程没有解。
如果C = D，则两条线相同（重叠）。
让我们通过将x和y分别替换为x/w、y/w来重写射影空间的方程。
现在，我们有一个解(x, y, 0)因为(C - D)w = 0, ∴ w = 0。因此，两条平行线在(x, y, 0)处相交，这是无穷远处的点。
齐次坐标是计算机图形学中非常有用的基本概念，例如将 3D 场景投影到 2D 平面上。
