什么是向量 在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。 如果用Rn表示n个实数的有序集，Rn中的一个向量就是一个n元有序组，Rn = {(x1, x2,……xn) | xi ∈
什么是点积 如果A和B都是n维向量，这样定义点积： 点积结果是标量。 点积的几何意义是A和B的模乘以二者的夹角正余玄： 在几何意义中，点积同时包含了向量的长度和夹角信息。 代数表达和几何表达是等价的。用余玄定理解释几何意义 余玄定理是这样说的：已知三角形的两边和夹角，可以知道第三边的长度。根据该定理
什么是叉积 向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的： 在二维空间内，向量A = 1, a2>，B = 1, b2> 其几何意义就是以两个向量为边的平行四边形的面积，这在上篇文章中给出了详细说明。 此外，叉积也适用于两个在三维空间内的向量。在三维空间内，向量A = 1, a2, a3>，B = 1, b2, b
关于最简行阶梯矩阵和矩阵秩，可参考《线性代数笔记7——再看行列式与矩阵》 召唤一个方程Ax = b： 3个方程4个变量，方程组有无
在第一章中介绍了逆矩阵与奇异矩阵，我们可以通过一个行列式公式计算二维矩阵的逆，那么更多维矩阵的逆如何求解呢？逆矩阵与方程组 或许用行列式求逆矩阵的做法有些公式化，实际上可以将求逆矩阵看成解方程组： 由此可以通过解方程组的方式求出逆矩阵。 如果一个方阵与另一个非零矩阵的乘积是零矩阵，那么该矩阵是奇异矩阵，也是就是没有逆。例如： 因为AX = 0，A是奇异矩阵，...
消元矩阵 如果用矩阵表示一个有解的方程组，那么矩阵经过消元后，最终能变成一个上三角矩阵U。用一个三元一次方程组举例： A经
特征向量 函数通常作用在数字上，比如函数f作用在x上，结果得到了f(x)。在线性代数中，我们将x扩展到多维，对于Ax来说，矩阵A的作用就像一个
特征值矩阵 假设A有n个线性无关的特征向量x1,x2……xn，这些特征向量按列组成矩阵S，S称为特征向量矩阵。来看一下A乘以S会得到什么：
伴随矩阵 对于2×2矩阵来说，它的逆矩阵公式： 对于更高阶矩阵，我们也希望使用类似的公式。从2×2的逆矩阵公式可以看出，它的逆矩阵由两
链接 |https://mp.weixin../s/6wmVSqJUTgbmk8Z1r2_w判断正定矩阵 给出一个矩阵： 有4个途径可以判定该矩阵是否是正定矩阵（注意这个矩阵的4个元素中有2个b，这是因为正定矩阵是对称矩阵，如果A的次对角线的元素不相等，A就不是对称的，也就没有必要进一步判定是否是正定的）：所有特征值大于0，λ1>0，λ2>...
原文：https://mp.weixin.qq.com/s/COpYKxQDMhqJRuMK2raMKQ 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式，解微分方程就是找出未知函数。
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可
最重要的矩阵之一，对于对称矩阵来说，A=AT。矩阵的特殊性也表现在特征值和特征向量上，比如马尔可夫矩阵的有一个值为1的特征值，对称矩阵的特征值又有哪些特性呢？ 本文的相关知识： 正交向量和正交矩阵（线性代数20——格拉姆-施密特正...
AT的特征值 矩阵A的特征值和AT的特征值是一样的。 求解特征值的方法是det(A-λI) = 0，根据行列式的性质，矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式，因此： 因此λ也是AT的特征值。马尔可夫矩阵 矩阵A有2个特点：A中的所有元素都是非负的；A中的每一列之和都等于1。形如A的矩阵称为马尔可夫矩阵。马尔可夫矩阵主要应用在概率领域。将一个马尔可夫矩阵进行方幂运算仍然得到马尔可夫矩阵。 当处理
与正定矩阵 我们之前一直在讨论方阵，但大量的实际问题应用到了长方矩阵，比如在最小二乘中用到了ATA。 如果A是一个m×n的长方矩阵，那么ATA是一个对称矩阵，当然也是方阵，我们感兴趣的是ATA的正定性。对于ATA来说，我们对它的特征向量和行列式一无所知，需要...
阵也可能碰到复特征值，因此无可避免地在矩阵运算中碰到复数。 矩阵当然也有可能包含复数，最重要的复矩阵是傅立叶矩阵，它用于傅立叶变换。一种特殊的傅立叶变换是快速傅立叶变换（fast Fourier transform），简称FFT，在计算机中很常用，特别是涉及到大数...
线性变换这个词在线性代数中经常被提及，每个线性变换的背后都有一个矩阵。矩阵的概念比较直观，相比之下，线性变换就显得抽象了。线性变换 抛开矩阵，我们从变换的角度讨论投影。通过T变换，使平面内的一个向量投影到一条直线上： T就像一个函数：给定一个输入向量，经过T的变换，输出成直线上的投影，过去我们一直用更专业的“映射”称呼这种变换关系。下图中v和w是R2空间内的向量，通过T变换变成了直线上的
奇异值分解（Singular value decomposition）简称SVD，是将矩阵分解为特征值和特征向量的另一种方法。奇异值分解可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵相乘来表示，这些小矩阵描述的都是矩阵的重要的特性。奇异值分解在图形降噪、推荐系统中都有很重要的应用。 对于任意矩阵A，都可以奇异值分解成下面的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵： 如果A是正定矩阵，它
基变换的一个重要应用是压缩，图像、视频、音频和其它一些数据都会因为基变换而得到更高效的压缩存储。线性变换可以脱离坐标系，而描述线性变换的矩阵却要依赖于坐标系，因此选择合适的基会更便于计算。图像的知识灰度图像 由于景物各点的颜色及亮度不同，摄成的黑白照片上或电视重现的黑白图像上各点呈现不同程度的灰色。把白色与黑色之间按对数关系分成若干级，称为“灰度等级”。范围一般从0到255，白色为255，
一个矩阵有逆矩阵的前提是该矩阵是一个满秩的方阵。然而很多时候遇到的都是长方矩阵，长方矩阵是否有类似的逆矩阵呢？ 先把4个基本子空间的图贴上，A是m×n的矩阵，其中r是矩阵的秩：两侧逆（2-sided inverse） 我们通常说的逆矩阵都是针对满秩方阵而言，此时AA-1 = I = A-1A，A左乘或右乘A-1的结果都是单位矩阵，所以将这种逆矩阵称为两侧逆。左逆（Left inverse
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