题意：给一个n*m的矩阵，为1时代表空格子，为0时代表障碍格子，问如果不经过障碍格子，可以画一至多个圆的话，有多少种方案？（n<12，m<12）
思路：
这题不需要用到最小表示法以及括号表示法。
以一个非障碍格子为单位进行DP转移，所以可以用滚动数组。只需要保存m+1个插头的状态，其中有一个是右插头，其他都是下插头，若有插头的存在，该位为1，否则为0，初始时都是0。
需要考虑的是，（1）如果两个边缘都是插头，那么必须接上它们；（2）如果仅有一边是插头，则延续插头，可以有两个延续的方向（下和右）；（3）如果都没有插头，那么必须另开两个新插头（新连通分量）。
如下图，记录的状态是：101111。由于是按行来保存状态的，第一个格子需要特殊考虑，将所有状态左移一位，最后的一位就是右方向的边缘。假设上行都有下插头，那么此行初始时是011111，可以看到最左边的是0，表示无右插头，注意：我是按照111110保存的，即最低位是最左边。
初始格子dp[0][0]=1，而答案就是dp[cur][0]了，肯定是无插头存在的状态了，所有的圆圈都是完整的。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #define pii pair<int,int>
3 #define INF 0x3f3f3f3f
4 #define LL long long
5 using namespace std;
6 const int N=13;
7 int g[N][N], cur;
8 LL dp[N][1<<N];
9
10 void clear()
11 {
12 cur^=1;
13 memset(dp[cur], 0, sizeof(dp[cur]));
14 }
15
16 LL cal(int n,int m)
17 {
18 dp[0][0]=1; //开始时没有任何插头
19 for(int i=0; i<n; i++) //枚举格子
20 {
21 clear();
22 for(int k=0; k<(1<<m); k++) dp[cur][k<<1]+=dp[cur^1][k]; //最高位自动会被忽略
23 for(int j=0; j<m; j++)
24 {
25 int r=(1<<j), d=(1<<(j+1)); //r和d 相当于 右和下
26 clear();
27 for(int k=0; k<(1<<(m+1)); k++) //枚举状态
28 {
29 if(g[i][j]) //空格
30 {
31 if( (k&r) && (k&d) ) //两边都有插头:连起来，变无插头
32 dp[cur][k^r^d]+=dp[cur^1][k];
33 else if( k&r || k&d ) //其中一边有插头：可转两个方向
34 {
35 dp[cur][k]+=dp[cur^1][k];
36 dp[cur][k^r^d]+=dp[cur^1][k];
37 }
38 else //无插头：另开两个新插头
39 dp[cur][k|r|d]=dp[cur^1][k];
40 }
41 else //障碍格子
42 {
43 if( !(k&r) && !(k&d) )
44 dp[cur][k]=dp[cur^1][k];
45 }
46 }
47 }
48 }
49 return dp[cur][0];
50 }
51
52 int main()
53 {
54 //freopen("input.txt", "r", stdin);
55 int n, m, t, Case=0;
56 cin>>t;
57 while(t--)
58 {
59 scanf("%d%d",&n,&m);
60 memset(g, 0, sizeof(g));
61 memset(dp, 0, sizeof(dp));
62 for(int i=0; i<n; i++)
63 for(int j=0; j<m; j++)
64 scanf("%d",&g[i][j]);
65 printf("Case %d: There are %lld ways to eat the trees.\n", ++Case, cal(n,m));
66 }
67 return 0;
68 }
AC代码
最小表示法实现：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #include <iostream>
3 #include <cstdio>
4 #include <cstring>
5 #define pii pair<int,int>
6 #define INF 0x3f3f3f3f
7 #define LL long long
8 using namespace std;
9 const int N=15;
10 int g[N][N], n, m, cur, code[N];
11 struct Hash_Map
12 {
13 static const int mod=10007;
14 static const int NN=1000010;
15 int head[mod]; //桶指针
16 int next[NN]; //记录链的信息
17 LL status[NN]; //状态
18 LL value[NN]; //状态对应的DP值。
19 int size;
20
21 void clear()
22 {
23 memset(head, -1, sizeof(head));
24 size = 0;
25 }
26
27 void insert(LL st, LL val)
28 {
29 int h = st%mod;
30 for(int i=head[h]; i!=-1; i=next[i])
31 {
32 if(status[i] == st)
33 {
34 value[i] += val;
35 return ;
36 }
37 }
38 status[size]= st;
39 value[size] = val;
40 next[size] = head[h] ;
41 head[h] = size++;
42 }
43 }hashmap[2];
44
45
46 void decode(LL s)
47 {
48 for(int i=0; i<=m; i++)
49 {
50 code[i]=s&7;
51 s>>=3;
52 }
53 }
54 int cnt[N];
55 LL encode()
56 {
57 LL s=0;
58 memset(cnt, -1, sizeof(cnt));
59 cnt[0]=0;
60 for(int i=m,up=0; i>=0; i--)
61 {
62 if(cnt[code[i]]==-1) cnt[code[i]]=++up;
63 code[i]=cnt[code[i]];
64 s<<=3;
65 s|=code[i];
66 }
67 return s;
68 }
69
70 void DP(int i,int j)
71 {
72 for(int k=0; k<hashmap[cur^1].size; k++)
73 {
74 decode(hashmap[cur^1].status[k]);
75 LL v=hashmap[cur^1].value[k];
76
77 int R=code[j], D=code[j+1];
78
79 if(g[i][j]==0)
80 {
81 if(R==0&&D==0) hashmap[cur].insert(encode(),v);
82 continue;
83 }
84
85 if(R&&D)
86 {
87 code[j]=code[j+1]=0;
88 if(R==D) hashmap[cur].insert(encode(),v);
89 else
90 {
91 for(int r=0; r<=m; r++)
92 if(code[r]==R) code[r]=D;
93 hashmap[cur].insert(encode(), v);
94 }
95 }
96 else if(R||D)
97 {
98 R+=D;
99 if(i+1<n)
100 {
101 code[j]=R;
102 code[j+1]=0;
103 hashmap[cur].insert(encode(), v);
104 }
105 if(j+1<m)
106 {
107 code[j]=0;
108 code[j+1]=R;
109 hashmap[cur].insert(encode(), v);
110 }
111 }
112 else
113 {
114 code[j]=7;
115 code[j+1]=7;
116 if(i+1<n && j+1<m) hashmap[cur].insert(encode(), v);
117 }
118 }
119 }
120
121 void cal()
122 {
123 cur=0;
124 hashmap[cur].clear();
125 hashmap[cur].insert(0,1);
126 for(int i=0; i<n; i++)
127 {
128 for(int j=0; j<hashmap[cur].size; j++) hashmap[cur].status[j]<<=3;
129 for(int j=0; j<m; j++)
130 {
131 hashmap[cur^=1].clear();
132 DP(i,j);
133 //cout<<hashmap[cur].size<<endl;
134 }
135 }
136 }
137
138 LL print()
139 {
140 for(int i=0; i<hashmap[cur].size; i++)
141 if(hashmap[cur].status[i]==0)
142 return hashmap[cur].value[i];
143 return 0;
144 }
145
146 int main()
147 {
148 //freopen("input.txt", "r", stdin);
149 int t, Case=0;
150 cin>>t;
151 while(t--)
152 {
153 scanf("%d%d",&n,&m);
154 for(int i=0; i<n; i++)
155 {
156 for(int j=0; j<m; j++)
157 {
158 scanf("%d",&g[i][j]);
159 }
160 }
161 cal();
162 printf("Case %d: There are %lld ways to eat the trees.\n", ++Case, print());
163 }
164 }
AC代码
作者：xcw0754
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