[cf1491H]Yuezheng Ling and Dynamic Tree

将其按照区间分块（即$[(i-1)K+1,iK]$作为一个块），并定义$f_{x}$表示$x$的祖先中编号最小且与$x$在同一个块内的节点，$f_{x}$可以通过$f_{a_{x}}$转移，即$f_{x}=\begin{cases}f_{a_{x}}\ \ \ (x与a_{x}在一个块中)\\x\ \ \ \ \ \ (x与a_{x}不在一个块中)\end{cases}$

（特别的，若$x$在第一个块中则$f_{x}=1$）

通过$f_{x}$，类似于树剖的方式，即若两者$f_{x}$不同则移动$f_{x}$较大的（移动到$f_{x}$），直至相同再用同样的方式爬$a_{x}$，复杂度显然是$o(q\sqrt{n})$的

接下来是如何维护$f_{x}$，即如何支持修改：

对于边角的两个块，显然是可以暴力维护的，对于整块修改，显然当一个块被修改$\sqrt{n}$次后一定有$f_{x}=x$，因此至多$o(n)$次暴力，复杂度也是$o(n\sqrt{n})$

最终总复杂度即为$o((n+q)\sqrt{n})$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 int n,m,K,p,x,y,z,a[N],bl[N],st[N],ed[N],f[N];
 5 long long tag[N];
 6 int get(int k){
 7     return max(a[k]-tag[bl[k]],1LL);
 8 }
 9 void calc(int x,int y){
10     for(int i=x;i<=y;i++)
11         if (bl[i]==1)f[i]=1;
12         else{
13             int x=get(i);
14             if (bl[x]!=bl[i])f[i]=i;
15             else f[i]=f[x];
16         }
17 }
18 int main(){
19     scanf("%d%d",&n,&m);
20     for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
21     K=(int)sqrt(n);
22     for(int i=1;i<=n;i++)bl[i]=(i-1)/K+1;
23     for(int i=1;i<=bl[n];i++){
24         st[i]=(i-1)*K+1;
25         ed[i]=min(i*K,n);
26         calc(st[i],ed[i]);
27     }
28     calc(1,n);
29     for(int i=1;i<=m;i++){
30         scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);
31         if (p==1){
32             scanf("%d",&z);
33             if (bl[x]==bl[y]){
34                 for(int j=x;j<=y;j++)a[j]=max(a[j]-z,1);
35                 calc(st[bl[x]],ed[bl[x]]);
36             }
37             else{
38                 for(int j=x;j<=ed[bl[x]];j++)a[j]=max(a[j]-z,1);
39                 calc(st[bl[x]],ed[bl[x]]);
40                 for(int j=st[bl[y]];j<=y;j++)a[j]=max(a[j]-z,1);
41                 calc(st[bl[y]],ed[bl[y]]);
42                 for(int j=bl[x]+1;j<=bl[y]-1;j++){
43                     tag[j]+=z;
44                     if (tag[j]-z<=K)calc(st[j],ed[j]);
45                 }
46             }
47         }
48         else{
49             while (f[x]!=f[y]){
50                 if (f[x]>f[y])swap(x,y);
51                 y=get(f[y]);
52             }
53             if (x==y){
54                 printf("%d\n",x);
55                 continue;
56             }
57             while (get(x)!=get(y)){
58                 if (get(x)>get(y))swap(x,y);
59                 y=get(y);
60             }
61             if (x==y)printf("%d\n",x);
62             else printf("%d\n",get(x));
63         }
64     }
65 }

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