普里姆(Prim)算法 修路问题

普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的

连通子图，也就是所谓的极小连通子图

应用场景-修路问题

最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。

给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

1) N 个顶点，一定有 N-1 条边

2) 包含全部顶点

3) N-1 条边都在图中

4) 举例说明(如图:)

5) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

思路分析

1)设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合

2)若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1

3)若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将

顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1

4)重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边

5)提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

6)图解普利姆算法

普里姆算法最佳实践(修路问题代码实现)

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		//测试看看图是否创建ok
		char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
		int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
            
        //创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);// 
	}

}

//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
	//创建图的邻接矩阵
	/**
	 * 
	 * @param graph 图对象
	 * @param verxs 图对应的顶点个数
	 * @param data 图的各个顶点的值
	 * @param weight 图的邻接矩阵
	 */
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
			graph.data[i] = data[i];
			for(j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//显示图的邻接矩阵
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for(int[] link: graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//编写prim算法，得到最小生成树
	/**
	 * 
	 * @param graph 图
	 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
	 */
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
		int visited[] = new int[graph.verxs];
		//visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
//		for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
//			visited[i] = 0;
//		}
		
		//把当前这个结点标记为已访问
		visited[v] = 1;
		//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
		for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
			
			//这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
			for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点
				for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
					if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
						//替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
						minWeight = graph.weight[i][j];
						h1 = i;
						h2 = j;
					}
				}
			}
			//找到一条边是最小
			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
			//将当前这个结点标记为已经访问
			visited[h2] = 1;
			//minWeight 重新设置为最大值 10000
			minWeight = 10000;
		}
		
	}
}

class MGraph {
	int verxs; //表示图的节点个数
	char[] data;//存放结点数据
	int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
	
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}