算法导读

本期算法讲解思路：

白话算法->算法思路->实例：八皇后问题->实例：01背包问题->算法教你玩数独

白话算法

回溯法（back tracking）（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

白话：回溯法可以理解为通过选择不同的岔路口寻找目的地，一个岔路口一个岔路口的去尝试找到目的地。如果走错了路，继续返回来找到岔路口的另一条路，直到找到目的地。

实例一：八皇后问题

八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后（棋子），使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

小白面试经：理解如何解决这个问题，回溯法的精髓已经get。如果只是想了解算法面试知识，知道解决这个问题就能完成你的算法积累了。想快速掌握算法，可以直接查看解题思路的四个步骤。

八皇后问题解题思路：

问题简化：下面我们将八皇后问题转化为四皇后问题，并用回溯法来找到它的解
目的：在4x4棋盘上，使得4个皇后不能在同行同列以及同斜线上。

step1

尝试先放置第一枚皇后，被涂黑的地方是不能放皇后

小白带你学--回溯算法_搜索

step2

第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方我们放第三格，则：

此时我们也能理解为什么叫皇后问题了，皇后旁边容不下其他皇后。而在同一个房间放下四个皇后确实是个不容易的问题。

小白带你学--回溯算法_回溯算法_02

step3

可以看到再难以放下第三个皇后，此时我们就要用到回溯算法了。我们把第二个皇后更改位置，此时我们能放下第三枚皇后了。

小白带你学--回溯算法_回溯法_03

 

step4

虽然是能放置第三个皇后，但是第四个皇后又无路可走了。返回上层调用（3号皇后），而3号也别无可去，继续回溯上层调用（2号），2号已然无路可去，继续回溯上层（1号），于是1号皇后改变位置如下，继续回溯。

小白带你学--回溯算法_回溯法_04

这就是回溯算法的精髓，虽然没有最终把问题解决，但是可以剧透一波，就是根据这个算法，最终能够把四位皇后放在4x4的棋盘里。也能用同样的方法解决了八皇后问题。下面我们用代码解决八皇后问题。

代码实现八皇后问题

我们将算法也设置成两步，

第一步 我们要判断每次输入的皇后是否在同一行同一列，或者同一斜线上。


bool is_ok(int row){            //判断设置的皇后是否在同一行，同一列，或者同一斜线上
    for (int j=0;j<row;j++)
    {
        if (queen[row]==queen[j]||row-queen[row]==j-queen[j]||row+queen[row]==j+queen[j])
            return false;       
    }
    return true;
}


第二步 我们用十行代码来进入我们核心算法

void back_tracking(int row=0)    //算法函数，从第0行开始遍历
{
    if (row==n)
        t ++;               //判断若遍历完成，就进行计数     
        for (int col=0;col<n;col++)     //遍历棋盘每一列
        {
            queen[row] = col;           //将皇后的位置记录在数组
            if (is_ok(row))             //判断皇后的位置是否有冲突
                back_tracking(row+1);   //递归，计算下一个皇后的位置
        }
}


代码实现算法也是比较简单的，主要还是看是否掌握算法思想。

实例二：01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是最基础的背包问题，总的来说就是：选还是不选，这是个问题

相当于用f[i][j]表示前i个物品装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值。

对于一个物品，只有两种情况

情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

接下来的实例属于算法进阶，可做了解
提两点，
1.与上期贪婪法所解决的背包问题相比，回溯法将能更能顾及寻找全局最优。
2.背包问题与八皇后问题所用的算法虽然都是回溯法，但是他们的目的不一样，八皇后只要求把所有的棋子放在棋盘上（即只需解决深度最优）。而01背包问题不仅需要让物品都放进背包，而且要使得物品质量最大，在八皇后问题上多提出了一个限制。

问题的解空间

用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个(最优)解。对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可用一棵完全二叉树表示解空间，如图所示：

 

小白带你学--回溯算法_回溯法_05

1表示选取，0表示不选

求解步骤

1)针对所给问题，定义问题的解空间；

2)确定易于搜索的解空间结构；

3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

常用的剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。

回溯法对解空间做深度优先搜索时，有递归回溯和迭代回溯（非递归）两种方法，但一般情况下用递归方法实现回溯法。

算法描述

解 0/1 背包问题的回溯法在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。

我们直接上手代码解决这个问题

算法部分

void dfs(int i,int cv,int cw)
{  //cw当前包内物品重量，cv当前包内物品价值
    if(i>n)   
    {
        if(cv>bestval)             //是否超过了最大价值
        {
            bestval=cv;            //得到最大价值
            for(i=1;i<=n;i++)      
                bestx[i]=x[i];      //得到选中的物品
        }
    }
    else 
        for(int j=0;j<=1;j++)    //枚举物体i所有可能的路径，
        {
            x[i]=j;      
            if(cw+x[i]*w[i]<=TotCap)  //满足约束,继续向子节点探索
            {
                cw+=w[i]*x[i];
                cv+=val[i]*x[i];
                dfs(i+1,cv,cw);
                cw-=w[i]*x[i];    //回溯上一层物体的选择情况
                cv-=val[i]*x[i];
            }
        }
}


主函数部分

int main()
{
    int i;
    bestval=0; 
    cout<<"请输入背包最大容量:"<<endl;;
    cin>>TotCap;
    cout<<"请输入物品个数:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请依次输入物品的重量:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>w[i];
    cout<<"请依次输入物品的价值:"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++) 
        cin>>val[i];
    dfs(1,0,0);
    cout<<"最大价值为:"<<endl;
    cout<<bestval<<endl;
    cout<<"被选中的物品的标号依次是:"<<endl;

    for(i=1;i<=n;i++)
        if(bestx[i]==1) 
            cout<<i<<" ";
    cout<<endl;


    return 0;
}


回溯算法带你玩数独

我们可以想象，我们经常玩的数独问题其实就是一个的八皇后问题。在9宫格数独的约束为每一行每一列不能出现相同的数。这里我们限于篇幅，不将细讲代码了。

#include <iostream>
using namespace std;
#define   LEN  9
int a[LEN][LEN] = {0};


//查询该行里是否有这个值
bool  Isvaild(int  count)
{
   int i = count/9;
   int j = count%9;    
   //检测行
   for(int iter = 0;iter!=j;iter++)
   {      
       if(a[i][iter]==a[i][j])
       {
          return 1;
       }
   }

   //检测列
   for(int iter=0;iter!=i;iter++)
   {
        if(a[iter][j]==a[i][j])
        {
          return 1;
        }
   }

   //检测九宫   
   for(int p =i/3*3;p<(i/3+1)*3;p++)
   {
    for(int q=j/3*3;q<(j/3+1)*3;q++)
    {      
         if(p==i&&j==q)
         {         
           continue;
         }     
         if(a[p][q]==a[i][j])
            {
                return 1;
            }
   }
   }
   return 0;
}
void print()
{
    cout<<"数度的解集为"<<":"<<endl;
    for(int i=0;i<9;i++)
    {
        for(int j=0;j<9;j++)
        {

            cout<<a[i][j]<<" ";
        }

        cout<<endl;
    }

  cout<<endl;
}

void  first_chek(int count)
{
    if(81 ==count)
    {
        print();
        return;
    }

    int  i = count/9;   //列
    int  j  = count%9;   //行

    if(a[i][j]==0)
     {
        for(int n=1;n<=9;n++)
        {
            a[i][j] =  n;

            if(!Isvaild(count))  //这个值不冲突
            {
                first_chek(count+1)           }

        }      
         a[i][j] = 0;
    }  

    else
    {       
        first_chek(count+1);
    }
}


int main()
{
    a[1][2] = 3;
    a[5][3] = 9;
    a[8][8] = 1;
    a[4][4] = 4;
    first_chek(0);
    return 0;
}


其中2行3列、6行4列、9行9列、5行5列数字为已知。最后结果，

 

小白带你学--回溯算法_回溯法_06

总结