\(\quad 证明。在把实数域R分割成两个部分\delta 1和\delta2的同时，有理数域也被分成了两部分A_{1}和A_{2}，\)
\(这个有理数域的分割定义是：A_{1}包含了所有\delta1中的有理数，A_{2}包含了所有\delta2中的有理数。假设\alpha\)
\(是产生(A_{1},A_{2})的数（我注：\alpha不一定是有理数），若\beta是一个异于\alpha的数，那么\alpha和\beta中间\)
\(存在无穷多有理数c。\)
\(\quad I.若\beta<\alpha,则c<\alpha；这样c属于A_{1},自然属于\delta1,与此同时,\beta<c,所以\beta也属于A_{1}\)
\(\quad II.若\beta>\alpha,则c>\alpha,这样c属于A2,因此c也属于\delta2,故，由于c<\beta,所以\beta也属于\delta2\)
\(这样，每个异于\alpha的数\beta或者属于类\delta1或者属于类\delta2,取决于\beta > \alpha还是\beta < \alpha;\)
\(于是， \alpha或者是\delta1中的最大值，或者是\delta2中的最小值，即\alpha 是一个且是唯一一个产生分割(\delta1,\delta2)\)
\(的数。证毕。\)
\(\quad\quad IV\quad实数的四则运算\)
\(\quad\quad 要把实数的任意操作简化为有理数的操作，只需通过\alpha和\beta 生成的类(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})定义分割(C_{1},C_{2}),\)
\(该分割对应于\gamma。本文只讨论最简单的加法操作\)
\(\quad\quad 设c是任意有理数，如果在A_{1}中存在a_{1}，B_{1}中存在b_{1},有c\leq a_{1}+b_{1}，那么c属于C_{1}类，其他有理数\)
\(归于C_{2}。这样的分组C_{1},C_{2}，显然构成了一个分割,以为每一个C_{1}中的数c_{1}，都小于C_{2}中的数c_{2}。若\alpha和\beta都是有理数，\)
\(那么包含于C_{1}中的每个数c_{1}都\leq \alpha+\beta,这是因为a_{1}\leq \alpha,b_{1}\leq \beta,进而a_{1}+b_{1}\leq \alpha+\beta\)
\(更近一步，假设C_{2}中包含c_{2},有c_{2}<\alpha+\beta,于是有\alpha+\beta=c_{2}+p,这里p是正有理数，那么有\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad c_{2}=(\alpha-\frac{1}{2}p)+(\beta-\frac{1}{2}p)\)
\(与c_{2}定义矛盾，因为\alpha-\frac{1}{2}p属于A_{1}，\beta-\frac{1}{2}p属于B_{1}。由此可见，C_{2}中的每个数c_{2}都有\)
\(c_{2}\geq \alpha+\beta。这样，我们把实数\alpha+\beta的和理解为产生分割(C_{1},C_{2})的数字\gamma,就不会违法有理数中的加法。\)
\(进一步考虑，如果\alpha和\beta中只有一个有理数，例如，\alpha是有理数，\beta是无理数，易见，不管\alpha属于A_{1}还是A_{2}，\)
\(和依然是\gamma=\alpha+\beta，没有任何不同。\)
\(--------------------10----------------\)
\(\quad\quad 加法的定义完成之后，其他的运算，诸如减法，乘除，求根，等等，就都已确定，继续走下去，我们就碰到了这个定理的真正证明(如，\)
\(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sart{6}),\)

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