[cf1515I]Phoenix and Diamonds

转载

mob604756fda125 2021-06-23 21:19:00

文章标签 数据结构-线段树基础算法-贪心基础算法-分治基础算法-二分 i++ 文章分类 Java 后端开发

将$n$类物品按照价值为第一关键字（从大到小）、质量为第二关键字（从小到大）排序，此时贪心策略即依次贪心选（排序后）第$i$类的物品（其中$i$从1到$n$）

为了方便，排序后第$i$类物品质量、价值和个数仍用$w_{i},v_{i}$和$a_{i}$描述（即默认初始排序）

$\forall 0\le k\le 30$，维护一棵线段树，其中区间$[l,r]$维护：

1.$\sum_{l\le i\le r,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}$和$\sum_{l\le i\le r,w_{i}<2^{k}}a_{i}v_{i}$（特别的，若$w_{i}\ge 2^{k}$则$a_{i}$强制为0）

2.$\min_{l\le j\le r,2^{k}\le w_{j}<w^{k+1},a_{j}\ge 1}(\sum_{l\le i<j,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}+w_{j})$（特别的，若不存在$j$则强制为$\infty$）

修改操作会影响$o(\log n)$棵线段树，单次修改复杂度即$o(\log^{2}n)$

设已经贪心到第$l$类物品（第$l$类还未贪心），箱子剩余的容纳质量为$c$，取最大的$0\le k\le 30$满足$c\ge 2^{k}$

考虑找到最小的$r$，满足$\min_{l\le j\le r,2^{k}\le w_{j}<w^{k+1},a_{j}\ge 1}(\sum_{l\le i<j,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}+w_{j})\le c$，通过在$k$对应的线段树上二分即可做到$o(\log n)$的复杂度

若存在这样的$r$，此时即将$c$减去$\sum_{l\le i<r,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}+w_{r}$，答案增加$\sum_{l\le i<r,w_{i}<2^{k}}a_{i}v_{i}+v_{r}$

若不存在这样的$r$，再找到最小的$r$，满足$\sum_{l\le i\le r,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}>c$，同样在线段树上二分实现

此时即将$c$减去$\sum_{l\le i<r,w_{i}<2^{k}}a_{i}w_{i}$，答案增加$\sum_{l\le i<r,w_{i}<2^{k}}a_{i}v_{i}$，再手动贪心第$r$类物品（特别的，若$r>n$则跳过这一步）

最终，再把$l$变为$r+1$即可

关于正确性，分析如下——

对于第一种情况，即选择了$[l,r)$中所有$w_{i}<2^{k}$的物品，也即求证若$r'$满足$l\le r'<r$且$w_{r'}\ge 2^{k}$，$w_{r'}$必然不会被选择，对$w_{r'}$的情况分类讨论：

1.$w_{r'}<2^{k+1}$，此时如果会被选择，显然将$r$变为$r'$更优

2.$w_{r'}\ge 2^{k+1}$，若$c=30$显然不存在此类物品，否则必然有$c<2^{k+1}$，也不能被选择

而对于$w_{r}$，上述式子的最小值必然在$j=r$时取到（否则令$r$为取到最小值的$j$更优），即$w_{r}\ge 2^{k}$，因此$w_{r}$至多选择一个，且可以被选择，即选择一个即可

对于第二种情况，由于不存在$r$，也即一定不能选择$w_{i}\ge 2^{k}$的物品，因此仅考虑$w_{i}<2^{k}$的物品即可

关于最后的手动贪心，若$w_{r}\ge 2^{k}$显然将$r$变为$r+1$更优，因此必然有$w_{r}<2^{k}$，且一定不能全部选择（同样将$r$变为$r+1$更优）

关于时间复杂度，分析如下——

事实上，不论哪一种情况，最终都会有$c<2^{k}$或$l>n$

第一种情况，由于选择了$w_{r}\ge 2^{k}$的物品，显然$c<2^{k}$

第二种情况，由于最终手动贪心第$r$类物品，根据前面的分析$w_{r}<2^{k}$且不能全部选择，那么最终若$c\ge 2^{k}$则还可以再选一个$w_{r}$的物品（特别的，若$r>n$即$l>n$）

由此，上述过程至多执行$o(\log n)$次，单次询问复杂度即$o(\log^{2}n)$

综上，总时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 200005
  4 #define ll long long
  5 #define L (k<<1)
  6 #define R (L+1)
  7 #define mid (l+r>>1)
  8 struct Thing{
  9     int a,w,v,id;
 10     bool operator < (const Thing &k)const{
 11         return ((v>k.v)||(v==k.v)&&(w<k.w));
 12     }
 13 }a[N];
 14 struct Data{
 15     ll w,v,mn;
 16 }o,f[31][N<<2];
 17 int n,q,p,x,y,id[N];
 18 ll z;
 19 void get(int k,int x){
 20     for(int i=0;i<=30;i++){
 21         f[i][k]=o;
 22         if (a[x].w<(1<<i)){
 23             f[i][k].w=1LL*a[x].a*a[x].w;
 24             f[i][k].v=1LL*a[x].a*a[x].v;
 25         }
 26         else{
 27             if ((i<30)&&(a[x].w<(1<<i+1))&&(a[x].a>=1))f[i][k].mn=a[x].w;
 28         }
 29     }
 30 }
 31 Data merge(Data x,Data y){
 32     return Data{x.w+y.w,x.v+y.v,min(x.mn,y.mn+x.w)};
 33 }
 34 void up(int k){
 35     for(int i=0;i<=30;i++)f[i][k]=merge(f[i][L],f[i][R]);
 36 }
 37 void build(int k,int l,int r){
 38     if (l==r){
 39         get(k,l);
 40         return;
 41     }
 42     build(L,l,mid);
 43     build(R,mid+1,r);
 44     up(k);
 45 }
 46 void update(int k,int l,int r,int x){
 47     if (l==r){
 48         get(k,x);
 49         return;
 50     }
 51     if (x<=mid)update(L,l,mid,x);
 52     else update(R,mid+1,r,x);
 53     up(k);
 54 }
 55 Data query(int p,int k,int l,int r,int x,int y){
 56     if ((l>y)||(x>r))return o;
 57     if ((x<=l)&&(r<=y))return f[p][k];
 58     return merge(query(p,L,l,mid,x,y),query(p,R,mid+1,r,x,y));
 59 }
 60 int find1(int p,int k,int l,int r,int x,ll &y){//找到大于等于x的位置中第一个mn<=y的位置 
 61     if (r<x)return n+1;
 62     if ((l>=x)&&(f[p][k].mn>y)){
 63         y-=f[p][k].w;
 64         return n+1;
 65     }
 66     if (l==r)return l;
 67     int ans=find1(p,L,l,mid,x,y);
 68     if (ans<=n)return ans;
 69     return find1(p,R,mid+1,r,x,y);
 70 }
 71 int find2(int p,int k,int l,int r,int x,ll &y){//找到大于等于x的位置中第一个w>y的位置 
 72     if (r<x)return n+1;
 73     if ((l>=x)&&(f[p][k].w<=y)){
 74         y-=f[p][k].w;
 75         return n+1;
 76     }
 77     if (l==r)return l;
 78     int ans=find2(p,L,l,mid,x,y);
 79     if (ans<=n)return ans;
 80     return find2(p,R,mid+1,r,x,y);
 81 }
 82 ll query(ll c){
 83     int pos=1;
 84     ll cc,ans=0;
 85     while ((pos<=n)&&(c)){
 86         int k=0,nex;
 87         for(int i=0;i<=30;i++)
 88             if ((1<<i)<=c)k=i;
 89         nex=find1(k,1,1,n,pos,cc=c);
 90         if (nex<=n){
 91             Data o=query(k,1,1,n,pos,nex-1);
 92             c-=o.w+a[nex].w,ans+=o.v+a[nex].v;
 93         }
 94         else{
 95             nex=find2(k,1,1,n,pos,cc=c);
 96             Data o=query(k,1,1,n,pos,nex-1);
 97             c-=o.w,ans+=o.v;
 98             if (nex<=n){
 99                 ll s=c/a[nex].w;
100                 c-=s*a[nex].w,ans+=s*a[nex].v;
101             }
102         }
103         pos=nex+1;
104     }
105     return ans;
106 }
107 int main(){
108     o.mn=2e18;
109     scanf("%d%d",&n,&q);
110     for(int i=1;i<=n;i++){
111         scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].w,&a[i].v);
112         a[i].id=i;
113     }
114     sort(a+1,a+n+1);
115     for(int i=1;i<=n;i++)id[a[i].id]=i;
116     build(1,1,n);
117     for(int i=1;i<=q;i++){
118         scanf("%d",&p);
119         if (p==1){
120             scanf("%d%d",&x,&y);
121             y=id[y];
122             a[y].a+=x;
123             update(1,1,n,y);
124         }
125         if (p==2){
126             scanf("%d%d",&x,&y);
127             y=id[y];
128             a[y].a-=x;
129             update(1,1,n,y);
130         }
131         if (p==3){
132             scanf("%lld",&z);
133             printf("%lld\n",query(z));
134         }
135     }
136 }