一、概念：
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
在图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
二、算法：
求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。
只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。
给一个例子
1、起始没有匹配
2、选中第一个x点找第一跟连线
3、选中第二个点找第二跟连线
4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了，找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4，把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉，剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去
5、同理加入x4,x5。
匈牙利算法可以深度有限或者广度优先，刚才的示例是深度优先，即x3找y1,y1已经有匹配，则找交错路。若是广度优先，应为：x3找y1,y1有匹配，x3找y2。
匈牙利算法的要点如下
- 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
- 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
- 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用
prev 数组。
补充定义和定理：
(1)二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。
Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。
(2)DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）
(3)二分图的最大独立集
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值
结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）
代码：
1.DFS增广
采用DFS思想搜索可增广路并求出最大匹配的代码如下：
1 #define MAXN 10
2 int nx,ny;///x,y集合中点的个数
3 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵
4 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点
5 int vis[MAXN];///顶点访问状态数组，1访问过，0未访问过
6 int path(int u)
7 {
8 int v;
9 for(v=0; v<ny; v++)
10 {
11 if(maps[u][v]&&!vis[v])///u与v邻接并且未被访问过
12 {
13 vis[v]=1;///访问v
14 ///v没有匹配或者v已经匹配了，但从cy[v]出发可以找到一条增光路
15 if(!cy[v]||path(cy[v]))///如果前一个条件成立则不会调用递归
16 {
17 cx[u]=v;///把v匹配给u
18 cy[v]=u;///把u匹配个v
19 return 1;
20 }
21 }
22 }
23 return 0;///不存在从u出发的增广路
24 }
25 int MaxMatch()
26 {
27 int res=0;///所求得的最大匹配
28 int i;
29 memset(cx,0,sizeof(cx));
30 memset(cy,0,sizeof(cy));///初始化为0
31 for(i=0; i<=nx; i++)
32 {
33 memset(vis,0,sizeof(vis));
34 if(path(i))///从未盖点出发寻找增广路
35 {
36 res++;
37 }
38 }
39 return res;
40 }
DFS增广特点：
（1）优点：实现简洁，容易理解。
（2）适用：稠密图，由于边很多，DFS找增广路很快。
（3) 复杂度：O（n^3）。
2.BFS增广
采用BFS思想搜索可增广路并求出最大匹配的代码如下：
1 #define MAXN 10
2 int nx,ny;///x,y集合中点的个数
3 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵
4 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点
5 int pred[MAXN];///用来记录交错轨，同时也用来记录Y集合中的顶点是佛遍历过
6 int queue[MAXN];///数组模拟的队列
7 int MaxMath()
8 {
9 int i,j,y;
10 int cur,tail;///表示队列头和尾位置的下标
11 int res=0;///所求得的最大匹配数
12 memset(cx,0,sizeof(cx));
13 memset(cy,0,sizeof(cy));
14 for(i=0;i<nx;i++)
15 {
16 if(!cx[i])
17 {
18 continue;
19 }
20 ///对X集合中每一个未盖点i进行一次BFS找交错轨
21 for(j=0;j<ny;j++)
22 {
23 pred[j]=-2;///-2为初始值
24 }
25 cur=tail=0;
26 for(j=0;j<ny;j++)///把i的邻接点入队列
27 {
28 if(maps[i][j])
29 {
30 pred[j]=-1;///-1表示遍历到了，是邻接顶点
31 queue[tail++]=j;
32 }
33 }
34 while(cur<tail)
35 {
36 y=queue[cur];
37 if(!cy[y])///找到了一个未被匹配的点，则找到了一条增广路
38 {
39 break;
40 }
41 cur++;
42 ///y已经匹配给了cy[y]了,从cy[y]出发，将它的邻接顶点入队列
43 for(j=0;j<ny;j++)
44 {
45 if(pred[j]==-2&&maps[cy[y]][j])
46 {
47 pred[j]=y;
48 queue[tail++]=j;
49 }
50 }
51 }
52 if(cur==tail)///没有找到交错轨
53 {
54 continue;
55 }
56 while(pred[y]>-1)///更改交错轨上的匹配状态
57 {
58 cx[cy[pred[y]]]=y;
59 cy[y]=cy[pred[y]];
60 y=pred[y];
61 }
62 cy[y]=i;
63 cx[i]=y;
64 res++;///匹配数+1
65 }
66 return res;
67 }
再给出一个直接调用队列的代码：
1 int nx,ny;///x,y集合中点的个数
2 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵
3 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点
4 int pre[MAXN];///x每一个点的上一个节点
5 int vis[MAXN];///标志一个点在找增广路的同时是否被访问过
6 int MaxMatch()
7 {
8 int i,j,y;
9 int res=0;///所求得的最大匹配数
10 memset(cx,0,sizeof(cx));
11 memset(cy,0,sizeof(cy));
12 memset(vis,0,sizeof(vis));
13 for(i=1; i<=nx; i++)
14 {
15 if(!cx[i])
16 {
17 queue<int>q;
18 q.push(i);
19 pre[i]=-1;
20 int flag=0;///标志是否找到了增广路
21 while(!q.empty()&&!flag)
22 {
23 int u=q.front();
24 q.pop();
25 for(int v=1; v<=ny&&!flag; v++)
26 {
27 if(maps[u][v]&&vis[v]!=i)
28 {
29 vis[v]=i;
30 q.push(cy[v]);///将于y匹配的x点放入队列
31 if(cy[v]!=0)///没有增广路
32 {
33 pre[cy[v]]=u;///记录x点的顺序
34 }
35 else///找到增广路
36 {
37 flag=1;
38 int d=u,e=v;
39 while(d!=-1)///将原来匹配的边去掉加入原来不在匹配中的边
40 {
41 int t=cx[d];
42 cx[d]=e;
43 cy[e]=d;
44 d=pre[d];
45 e=t;
46 }
47 }
48 }
49 }
50 }
51 if(cx[i]!=0)///新增一个匹配的边
52 {
53 res++;
54 }
55 }
56 }
57 return res;
58 }
BFS增广特点：
（1）适用：稀松二部图，边少，增广路短。
（2）时间复杂度:O(n^3)。
作者：王陸
