【专题笔记#3】完美匹配

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mob604756fc093d 2021-08-24 21:03:00

文章标签 专题笔记二分图点集最小顶点覆盖最大匹配 文章分类 运维

霍尔定理等

Menger's Theorem

设 \(G\) 是一个有向简单图，\(u,v\) 是 \(G\) 中两个不相邻的顶点，\(C\) 是 \(u,v\) 之间的最小边割集，则 \(|C|\) 等于 \(u\) 到 \(v\) 之间两两边独立的路径的数量。

我们称 \(G\) 是 \(k\)-边连通图当且仅当 \(G\) 中任意两点之间都可以找到 \(k\) 条两两边独立的路径。

可以用最大流最小割定理推导出来。

Hall's Theorem

定义：在二分图 \(G=<V_1,V_2,E>\) 中，点集 \(S \subseteq V_1\)，称 \(V_2\) 中与 \(S\) 有边相连的点集 \(\Gamma(S)\) 为 \(S\) 的邻集。

霍尔定理：

设二分图 \(G=<V_1,V_2,E>\)，\(|V_1|\le |V_2|\)，则 \(G\) 中存在 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的完美匹配的充要条件是 \(\forall S \subset V_1\)，均有 \(|S|\le |\Gamma(S)|\)。

必要性是显然的，下面来证明充分性。

我们对 \(V_1\) 的大小 \(v\) 使用归纳法，\(v=1\) 时显然成立，假设当 \(v \le k\) 时成立，当 \(v=k+1\) 时，可以分为两种情况：

一、若对于 \(V_1\) 的所有非空子集 \(S\)，均满足 \(|\Gamma(S)|\ge |S|+1\)。那么我们可以从两边随便选一对点去匹配，剩下的部分依然满足霍尔定理，根据归纳假设，存在完美匹配。

二、若 \(V_1\) 有部分非空子集 \(T\) 满足 \(|\Gamma(T)|=|T|\)，我们令 \(G_1=G[T\cup \Gamma(T)]\)，\(G_2=G\setminus G_1\)。显然，\(|G_1|=|\Gamma(G_1)|\)，\(|G_2|\le |\Gamma(G_2)|\)，均满足霍尔定理，根据归纳假设，它们均能完美匹配。把这两个完美匹配并起来就是 \(G\) 的完美匹配。

推论：设二分图 \(G=<V_1,V_2,E>\)，则 \(G\) 的最大匹配为 \(|V_1|-\max(|S|-|\Gamma(S)|)\)，其中 \(S\) 为 \(V_1\) 的子集。

J - Strongly Matchable

给出一个无向图 \(G=<V,E>\)，保证 \(|V|\) 为不超过 \(100\) 的偶数，问 \(V\) 中所有大小为 \(\dfrac{|V|}{2}\) 的子集 \(S\) 是否均能与相应的 \(V\setminus S\) 完美匹配。

根据霍尔定理，若存在点集 \(U\) 满足 \(|U|\le \dfrac{|V|}{2}\) 且 \(|\Gamma(U)|\lt |U|\)，就存在不完美匹配的情况。那么考虑这个 \(U\)，对应的 \(|\Gamma(U)|\lt |U|\le \dfrac{V}{2}\)，说明存在一个非空点集 \(S=G\setminus U\setminus \Gamma(U)\)，\(U\) 与 \(S\) 间不存在边。这就意味着 \(\Gamma(U)\) 是 \(G\) 的一个割！

于是我们只需要枚举源点和汇点，判断最小割是否小于 \(\dfrac{|V|}{2}\) 即可。