死亡的尽头，没有神

T1 random

解题思路

这波是找规律完胜了。。

lby dalao根据样例找出了正确的式子：\(\dfrac{n^2-1}{9}\)

然而，我这个菜鸡却推出了这样一个错误的式子：\(\dfrac{(n-1)^2\times 2^n}{n^2\times (n+1)}\)

那么哪个像正解呢，当然是我的这个了（虽然他一点道理没有）。。。

别的啥也不想说了，看一下官方题解吧。。。

7.27考试总结(NOIP模拟25)[random·string·queue]_#define

zxb的题解

考虑一个逆序对对答案的贡献：


\[f_n=1+\frac{\sum_{i=2}^{n}{C_{n-2}^{i-2}\times f_i}}{2^n}\]


这样可以得到：


\[ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}C_i^2\times C_i^2\times (i-2)!\times \frac{1}{i!}\times f_i}{n}\]


数学归纳法可以证得，\(f_i\)为\(\frac{4}{3}\)，所以可以进一步化简。


\[ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{i\times (i-1)}{2}\times \frac{i\times (i-1)}{2}\times \frac{1}{i\times (i-1)}\times f_i}{n}\]


\[ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{i^2-i}{3}}{n}\]


\[ans=\frac{\frac{(2\times n+1)\times n\times (n+1)}{6}-\frac{(n+1)\times n}{2}}{3\times n}\]


\[ans=\frac{n^2-1}{9}\]


这明显是一个结论题，打表貌似也可行？

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353,INV_9=443664157;
int n,T;
signed main()
{
  scanf("%lld",&T);
  while(T--){
    scanf("%lld",&n);
    n=n%mod;
    printf("%lld\n",(n%mod*n%mod-1)*INV_9%mod);
  }
  return 0;
}


T2 string

解题思路

首先明确一下：是把前缀接在后缀后面。

这样就可以直接拼接对于每一个拼好的串维护一个 Hash 值，然后匹配就好了（40pts到手）

对于官方题解里的 Subtask3 其实是可以卡到 90pts 的，只要剪一下枝就好了。

只可惜我太菜只卡到了 80pts 。

思路还是和题解一样的维护每个串的 Hash 后，计算出在大串上作为后缀结尾和前缀开头的数量，分别记到 f 和 g 数组里。


\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{n}f_i\times g_{i+1}\]


正解还是在求 f 和 g 数组，对于之前的操作有了一个优化。

先把 n 个串分别正反压入两个 Tire 树，然后就可以处理出每个位置的后缀或者前缀的数量。

然后在 Tire 树上 DFS 一遍就可以求出每一个的 Hash 值，然后的操作就与前面的差不多了，不过是加了一个二分优化。

注意要用不会自动排序的 unordered_map 以及在查找是否有值的时候用 find 函数，不要直接调用值。

code

40pts

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0')
  {
    if(ch=='-') f=-1;
    ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    ch=getchar();
  }
  return x*f;
}
const int N=2e5+10,M=1e3+10;
const unsigned long long base=13331ull;
int n,len,ans;
unsigned long long has[N],ha[N],p[N];
string s,ch[N];
signed main()
{
  cin>>s;
  len=s.size();
  s=" "+s;
  n=read();
  p[0]=1;
  for(int i=1;i<=len+1;i++)
    p[i]=p[i-1]*base;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>ch[i];
  for(int i=1;i<s.size();i++)
    has[i]=has[i-1]*base+s[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      string c=" "+ch[i]+ch[j];
      int fjx=ch[i].size(),le=c.size()-1;
      for(int k=1;k<=le;k++)
        ha[k]=ha[k-1]*base+c[k];
      for(int l=1;l<=fjx;l++)
        for(int r=fjx+1;r<=le;r++)
        {
          int lent=r-l+1;
          for(int k=1;k+lent-1<=len;k++)
          {
            int pos=k+lent-1;
            unsigned long long temp=has[pos]-has[k-1]*p[pos-k+1]+base*10;
            unsigned long long tmp=ha[r]-ha[l-1]*p[r-l+1]+base*10;
            if(temp==tmp) ans++;
          }
        }
    }
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}


80pts（最高90pts）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0')
  {
    if(ch=='-') f=-1;
    ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    ch=getchar();
  }
  return x*f;
}
const int N=1e5+10;
const ull base=131ull;
int n,len,ans,lent[N],f[N],g[N];
ull has[N],p[N];
vector<ull > ha[N];
char s[N],ch[N];
signed main()
{
  scanf("%s",s+1);
  len=strlen(s+1);
  scanf("%lld",&n);
  p[0]=1;
  for(int i=1;i<=len;i++)
    p[i]=p[i-1]*base;
  for(int i=1;i<=len;i++)
    has[i]=has[i-1]*base+s[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%s",ch+1);
    lent[i]=strlen(ch+1);
    ha[i].push_back(0);
    for(int j=1;j<=lent[i];j++)
      ha[i].push_back(ha[i][j-1]*base+ch[j]);
  }
  for(int i=1;i<=len;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      int le=lent[j];
      for(int k=1;k<=le;k++)
      {
        ull tmp1=ha[j][le]-ha[j][le-k]*p[k];
        ull tmp2=has[i]-has[i-k]*p[k];
        if(tmp1==tmp2)  f[i]++;
        else  break;
      }
      for(int k=1;k<=le;k++)
      {
        ull tmp1=ha[j][k];
        ull tmp2=has[i+k-1]-has[i-1]*p[k];
        if(tmp1==tmp2)  g[i]++;
        else  break;
      }
    }
  for(int i=1;i<=len;i++)
    ans+=f[i]*g[i+1];
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}


正解

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0')
  {
    if(ch=='-') f=-1;
    ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    ch=getchar();
  }
  return x*f;
}
const int N=1e5+10,M=5e5+10;
const ull base=1331;
vector<int> ch[N];
char s[N],c[N];
int len[N],n,lent,ans,f[N],g[N];
ull p[N],preh[N],sufh[N];
struct Tire
{
  int all,tre[M][30],val[M*30];
  unordered_map<ull,int> mp;
  Tire(){all=1;}
  void insert(int pos)
  {
    int rt=1;
    for(int i=0;i<len[pos];i++)
    {
      int num=ch[pos][i];
      if(!tre[rt][num]) tre[rt][num]=++all;
      rt=tre[rt][num];
      val[rt]++;
    }
  }
  void dfs(int x,ull cnt)
  {
    mp[cnt]=val[x];
    for(int i=1;i<=26;i++)
      if(tre[x][i])
      {
        val[tre[x][i]]+=val[x];
        dfs(tre[x][i],cnt*base+i);
      }
  }
}pre,suf;
signed main()
{
  scanf("%s",s+1);
  lent=strlen(s+1);
  n=read();
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%s",c+1);
    len[i]=strlen(c+1);
    for(int j=1;j<=len[i];j++)
      ch[i].push_back(c[j]-'a'+1);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
    pre.insert(i);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    reverse(ch[i].begin(),ch[i].end());
  for(int i=1;i<=n;i++)
    suf.insert(i);
  pre.dfs(1,0);
  suf.dfs(1,0);
  p[0]=1;
  for(int i=1;i<=lent;i++)
    p[i]=p[i-1]*base;
  for(int i=1;i<=lent;i++)
    preh[i]=preh[i-1]*base+s[i]-'a'+1;
  for(int i=lent;i>=1;i--)
    sufh[i]=sufh[i+1]*base+s[i]-'a'+1;
  for(int i=1;i<=lent;i++)
  {
    int temp=0,l=1,r=lent-i+1;
    if(pre.mp.find(s[i]-'a'+1)!=pre.mp.end())
    {
      while(l<=r)
      {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pre.mp.find(preh[i+mid-1]-preh[i-1]*p[mid])!=pre.mp.end()) l=mid+1,temp=mid;
        else  r=mid-1;
      }
      g[i]=pre.mp[preh[i+temp-1]-preh[i-1]*p[temp]];  
    }
    temp=0;l=0,r=i;
    if(suf.mp.find(s[i]-'a'+1)!=suf.mp.end())
    {
      while(l<=r)
      {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(suf.mp.find(sufh[i-mid+1]-sufh[i+1]*p[mid])!=suf.mp.end()) l=mid+1,temp=mid;
        else  r=mid-1;
      }
      f[i]=suf.mp[sufh[i-temp+1]-sufh[i+1]*p[temp]];  
    }
  }
  for(int i=1;i<=lent;i++)
    ans+=f[i]*g[i+1];
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}


T3 queen

解题思路

其实就是推式子，然后敲就行了。。

比较重要的就是一个柿子：\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}\)

考场上推了一下 k=3 的以为 4以及以上的有非常难的一些东西就直接弃掉了。

考完之后看了一下 k=1 的情况没有取\(\bmod\)，挂了20pts

然后就是公式乱用，然后就是非常恶心的边界问题，官方题解写的就挺好：

7.27考试总结(NOIP模拟25)[random·string·queue]_#include_02

7.27考试总结(NOIP模拟25)[random·string·queue]_c++_03

zxb的题解

这个计数挺麻烦的。

分析性质，看到棋子为1时\(ans=n\times m\)。

棋子为二时或大于五时考虑一行或一列：\(n\times C_m^k+m\times C_n^k\)

考虑对角线:\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{C_{min(i,j)-1}^{k-1}}\)

三四五多出来好多种情况，具体应该是三种形态。

任意正方形:


\[ans=\sum_{i=2}^{min(n,m)}{(n-i+1)\times (m-i+1)}\]


奇数正方形


\[ans=\sum_{i=2}^{min(n,m)}{(n-2\times i+2)\times (m-2\times i+2)}\]


奇奇怪怪的矩形：


\[ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{min(i-1,\frac{j-1}{2})}\]


现在已经有80pts了，我们还需要继续化简，搞成可以\(\mathcal O(1)\)查询。

式子挺多，先来看斜线上的。


\[ans=(n+m+1)\times \sum_{i=i}^{min(n,m)}{C_{i-1}^{k-1}}-2\times\sum_{i=1}^{min(n,m)}{C_i^k\times k}\]


\[ans=(n+m+1)\times C_{min(n,m)}^k-2\times k\times C_{min(n,m)+1}^{k+1}\]


任意正方形：


\[ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)-1}{(n-i)\times (m-i)}\]


\[ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)-1}{n\times m+i^2-(n+m)\times i}\]


然后分别利用通项公式求和：

第一项：


\[(min(n,m)-1)\times n\times m\]


第二项：


\[\frac{(2\times min(n,m)-1)\times (min(n,m)-1)\times min(n,m)}{6}\]


第三项：


\[-(n+m)\times \frac{(min(n,m)-1)\times min(n,m)}{2}\]


这样每一步都可以很快求出。奇数正方形同上。

对于矩形只需看成\(0,0,1,1,........\)即可，普通正方形还有一种形式：


\[ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{min(i,j)-1}\]


这是类似的，化成两倍的形式就行，然后特判边界是奇还是偶。

code

80pts

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0')
  {
    if(ch=='-') f=-1;
    ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    ch=getchar();
  }
  return x*f;
}
const int N=1e3+10,mod=3e5+7;
int T,n,m,k,ans,c[N][N];
void get_C()
{
  c[0][0]=1;
  for(int i=1;i<N;i++)
  {
    c[i][0]=c[i][i]=1;
    for(int j=1;j<i;j++)
    {
      c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    }
  }
}
void solve()
{
  n=read();
  m=read();
  k=read();
  ans=0;
  if(k>m&&k>n)
  {
    cout<<0<<endl;
    return ;
  }
  if(k==1)
  {
    cout<<n*m%mod<<endl;
    return ;
  }
  if(m>n) swap(n,m);
  ans=(c[n][k]*m%mod+c[m][k]*n%mod)%mod;
  for(int i=k;i<m;i++)
    ans=(ans+c[i][k]*4%mod)%mod;
  ans=(ans+2*c[m][k]%mod*(n-m+1)%mod)%mod;
  if(k==3)
  {
    for(int len=2;len<=m;len++)
      ans=(ans+(n-len+1)*(m-len+1)%mod*4%mod)%mod;
    for(int len=2;len<=n&&2*len-1<=m;len++)
      ans=(ans+(n-len+1)*(m-2*len+2)%mod*2%mod)%mod;
    for(int len=2;len<=m&&2*len-1<=n;len++)
      ans=(ans+(m-len+1)*(n-2*len+2)%mod*2%mod)%mod;
  }
  if(k==4)
  {
    for(int len=2;len<=m;len++)
      ans=(ans+(n-len+1)*(m-len+1)%mod)%mod;
    for(int len=2;len<=n&&2*len-1<=m;len++)
      ans=(ans+(n-len+1)*(m-2*len+2)%mod*2%mod)%mod;
    for(int len=2;len<=m&&2*len-1<=n;len++)
      ans=(ans+(m-len+1)*(n-2*len+2)%mod*2%mod)%mod;
    for(int len=1;2*len+1<=m;len++)
      ans=(ans+(m-2*len)*(n-2*len)%mod*5%mod)%mod;
  }
  if(k==5)
  {
    for(int len=1;2*len+1<=m;len++)
      ans=(ans+(m-2*len)*(n-2*len)%mod*2%mod)%mod;
  }
  printf("%lld\n",ans%mod);
}
signed main()
{
  T=read();
  get_C();
  while(T--)  solve();
  return 0;
}


正解(代码略丑)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define f() cout<<"Pass"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0')
  {
    if(ch=='-') f=-1;
    ch=getchar();
  }
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    ch=getchar();
  }
  return x*f;
}
const int N=1e3+10,mod=3e5+7;
int T,n,m,pn,pm,k,ans,jc[mod+10],inv[mod+10];
int ksm(int x,int y)
{
  int temp=1;
  while(y)
  {
    if(y&1) temp=temp*x%mod;
    x=x*x%mod;
    y>>=1;
  }
  return temp%mod;
}
int work(int x,int y)
{
  if(y>x) return 0;
  return jc[x]*ksm(jc[y],mod-2)%mod*ksm(jc[x-y],mod-2)%mod;
}
int C(int x,int y)
{
  if(y>x) return 0;
  if(!x||!y)  return 1;
  return C(x/mod,y/mod)*work(x%mod,y%mod)%mod;
}
void solve()
{
  n=read();
  m=read();
  k=read();
  if(m<n) swap(n,m);
  pn=(n-1)%mod+1;
  pm=(m-1)%mod+1;
  if(k>m&&k>n)
  {
    cout<<0<<endl;
    return ;
  }
  if(k==1)
  {
    cout<<pn*pm%mod<<endl;
    return ;
  }
  ans=(C(n,k)*pm%mod+C(m,k)*pn%mod+2*(m-n+1)%mod*C(n,k)%mod+4*C(n,k+1)%mod)%mod;
  if(k==3)
  {
    int tmp1=(min(m,n/2)-1)%mod+1,tmp2=(min(n,m/2)-1)%mod+1;
    n=pn;m=pm;
    ans=(ans+4ll*(m*n%mod*(n-1)%mod-(m+n)*(n-1)%mod*n%mod*ksm(2,mod-2)%mod+(n-1)*n%mod*(2*n-1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod+2ll*mod)%mod)%mod;
    ans=(ans+2ll*(-tmp1*(tmp1+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod*(n+m*2)%mod+(tmp1+1)*tmp1%mod*(2*tmp1+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod*2ll%mod+n*m%mod*tmp1%mod+mod*2)%mod)%mod;
    ans=(ans+2ll*(-tmp2*(tmp2+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod*(m+n*2)%mod+(tmp2+1)*tmp2%mod*(2*tmp2+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod*2ll%mod+n*m%mod*tmp2%mod+mod*2)%mod)%mod;
  }
  if(k==4)
  {
    int tmp1=(min(m,n/2)-1)%mod+1,tmp2=(min(n,m/2)-1)%mod+1,temp1=(n-1)/2%mod,temp2=n/2%mod;
    n=pn;m=pm;
    ans=(ans+(m*n%mod*(n-1)%mod-(m+n)*(n-1)%mod*n%mod*ksm(2,mod-2)%mod+(n-1)*n%mod*(2*n-1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod+2ll*mod)%mod)%mod;
    ans=(ans+2ll*(-tmp1*(tmp1+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod*(n+m*2)%mod+(tmp1+1)*tmp1%mod*(2*tmp1+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod*2ll%mod+n*m%mod*tmp1%mod+mod*2)%mod)%mod;
    ans=(ans+2ll*(-tmp2*(tmp2+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod*(m+n*2)%mod+(tmp2+1)*tmp2%mod*(2*tmp2+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod*2ll%mod+n*m%mod*tmp2%mod+mod*2)%mod)%mod;
    ans=(ans+4*(n*m%mod*temp1%mod+4*(temp1+1)%mod*temp1%mod*(2*temp1+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod-2*(n+m)%mod*temp1%mod*(temp1+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod+2*mod)%mod)%mod;
    ans=(ans+n*m%mod*temp2%mod+4*(temp2+1)%mod*temp2%mod*(2*temp2+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod-2*(n+m)%mod*temp2%mod*(temp2+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod+2*mod)%mod;
  }
  if(k==5)
  {
    int temp1=(n-1)/2%mod,temp2=n/2%mod;
    n=pn;m=pm;
    ans=(ans+n*m%mod*temp1%mod+4*(temp1+1)%mod*temp1%mod*(2*temp1+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod-2*(n+m)%mod*temp1%mod*(temp1+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod+2*mod)%mod;
    ans=(ans+n*m%mod*temp2%mod+4*(temp2+1)%mod*temp2%mod*(2*temp2+1)%mod*ksm(6,mod-2)%mod-2*(n+m)%mod*temp2%mod*(temp2+1)%mod*ksm(2,mod-2)%mod+2*mod)%mod;
  }
  printf("%lld\n",ans%mod);
}
void init()
{
  jc[0]=1;
  for(int i=1;i<=mod;i++)
    jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
  inv[mod-1]=ksm(jc[mod-1],mod-2);
  inv[0]=inv[1]=1;
  for(int i=mod-2;i>=1;i--)
    inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
signed main()
{
  T=read();
  init();
  while(T--)  solve();
  return 0;
}