[学习笔记] 树上差分

前置知识

首先回忆以下差分数组：

\(b[1]=a[1]\)

\(b[i]=a[i]-a[i-1](2\leq i\leq n)\)

如果要在\(l,r\)区间\(+k\)，就在\(l\)加\(k\) 在\(r+1\)处\(-k\)

点的差分

如果我们要点\(u,v\)之间的路径加上某一个数\(d\)，直接\(dfs\)的话，肯定会\(T\)飞，这时我们就可以用树上差分来作，类比一下差分数组，我们可以在\(val[u],val[v]\)加上\(d\)，然后在他们的\(lca\)和\(lca\)的父亲处减去\(d\)，为什么呢？因为我们在在\(lca\)处加了两次，但实际上只要加一次，为了防止在回溯的时候给\(lca\)的父亲多加，所以要减去

边的差分

为了方便计算我们把每一条边都附在一个点上，具体地，\(f[i]\)表示\(i\)这个节点连接到它父亲的边

那为什么不是连接到儿子的边呢？因为树中每个儿子只会有一个父亲，但是一个父亲可能有多个儿子

这时我们只需要在\(val[v],val[u]\)上加\(k\)，在\(val[lca]-2*k\) 即可

例题

P3128 [USACO15DEC]Max Flow P

给定一棵树，有\(k\)次操作，每次在\(s\)到\(t\)的路径上的点加上一个数，求最终的最大点权

裸题不用多说了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <ctime>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int ver[N],tot,head[N],nxt[N],dep[N],f[N][30],val[N],n,m,ans;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int fa){
    f[u][0]=fa;
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=1;i<=22;++i)
	f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
	int v=ver[i];
	if(v==fa) continue;
	dfs(v,u);
    }
}
int Lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=22;i>=0;--i)
	if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
	    x=f[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=22;i>=0;--i)
	if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}
void dfs2(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
	int v=ver[i];
	if(v==fa) continue;
	dfs2(v,u);
	val[u]+=val[v];
    }
    ans=max(val[u],ans);
}
signed main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
	int x=read(),y=read();
	add(x,y);
	add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
	int s=read(),t=read();
	int lca=Lca(s,t);
	++val[s];
	++val[t];
	--val[lca];
	--val[f[lca][0]];
    }
    dfs2(1,0);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}