多项分布概率公式的理解

多项分布概率公式的理解

 

多项分布是二项分布的推广。二项分布（也叫伯努利分布）的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子，有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值，而多项分布的X有多种取值，多项分布的概率公式为  

P(X1=x1,⋯,Xk=xk)={n!x1!,⋯,xk!px1⋯pxkwhen∑ki=1xi=n0otherwise.

 这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的，想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

 

多项式定理：当n是一个正整数时,我们有  

(x1+x2+…+xk)n=∑n!r1!r2!⋯rk!xr11…xrkk

  其中r1+…+rk=n,ri≥0。

 

 

这个多项式定理的推导如下，将式子左边展开  

 

(x1+x2+…+xk)n=(x1+x2+…+xk)⋯(x1+x2+⋯+xk)

 

这样的话，我们可以把问题看成在n个式子里，先选取r1个x1，然后选取r2个x2，最后选取rk个xk，然后求有多少种方法。类似把n个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到  

Cr1,r2,…rkn=Cr1nCr2n−r1…Crkn−r1…−rk−1=n!r1!r2!…rk!

   所以xr11xr22…xrkk的系数为Cr1,r2,…rkn，这样，我们就能得到展开式的通式。举个例子，当k=2时，我们就得到了常见的二项式公式：

(a+b)n=∑i=0nCinaibn−i

 

再来看之前的多项分布的概率公式，假设X1,X2,…,Xk发生的概率为p1,p2,…,pk，由于事件之间是相互独立的，可得p1+p2+…+pk=1。 我们将p1+p2+…+pk=1式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和，那么(p1+p2+…+pk)n=1n=1则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开，它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次，X2出现x2次，…，Xk出现xk次的这种事件的出现概率，这样就得到了多项分布的概率公式。