题目大意:
一个长度为nnn的数列,要求支持444个操作:
- 0 x y0\ x\ y0 x y,表示将位置xxx的数字增加yyy。
- 1 x y z1\ x\ y\ z1 x y z,表示[x,y)[x,y)[x,y)中的数字全部加zzz。
- 2 x y2\ x\ y2 x y,表示询问x∼yx\sim yx∼y之间的数字和。
- 3 x y3\ x\ y3 x y,表示询问x∼yx\sim yx∼y之间的数字方差。
思路:
n≤100000n\leq 100000n≤100000,考虑分块。(个人感觉分块比线段树好打)。
对于222操作,很明显是需要在每个块内维护块内和。所以用sum[i]sum[i]sum[i]表示块iii中的数字和。
对于333操作,考虑将方差用完全平方公式拆开。
1n[(x1−ave)2+(x2−ave)2+...+(xn−ave)2]\frac{1}{n}[(x1-ave)^2+(x2-ave)^2+...+(xn-ave)^2]n1[(x1−ave)2+(x2−ave)2+...+(xn−ave)2]
先不考虑1n\frac{1}{n}n1。
(x1−ave)2+(x2−ave)2+...+(xn−ave)2(x1-ave)^2+(x2-ave)^2+...+(xn-ave)^2(x1−ave)2+(x2−ave)2+...+(xn−ave)2
拆开得
(x12−2×x1×ave)+(x22+2×x2×ave)+...+(xn2+2×xn×ave)(x1^2-2\times x1\times ave)+(x2^2+2\times x2\times ave)+...+(xn^2+2\times xn\times ave)(x12−2×x1×ave)+(x22+2×x2×ave)+...+(xn2+2×xn×ave)
去括号+整理得
x12+x22+...+xn2+2ave×x1+2ave×x2+...2ave×xn+ave2+ave2+...+ave2x1^2+x2^2+...+xn^2+2ave\times x1+2ave\times x2+...2ave\times xn+ave^2+ave^2+...+ave^2x12+x22+...+xn2+2ave×x1+2ave×x2+...2ave×xn+ave2+ave2+...+ave2
整理得
x12+x22+...+xn2+2ave(x1+x2+...+xn)+n×ave2x1^2+x2^2+...+xn^2+2ave(x1+x2+...+xn)+n\times ave^2x12+x22+...+xn2+2ave(x1+x2+...+xn)+n×ave2
将sum=x1+x2+...+xnsum=x1+x2+...+xnsum=x1+x2+...+xn带入得
x12+x22+...+xn2+2×ave×sum+n×ave2x1^2+x2^2+...+xn^2+2\times ave\times sum+n\times ave^2x12+x22+...+xn2+2×ave×sum+n×ave2
那么就再维护每个块的平方和就可以在O(n)O(\sqrt{n})O(n)内求出答案了。
维护倒是不难,熟用完全平方公式+++注意细节即可。
代码:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int N=100010;
const int M=350;
int n,Q,T,L[M],R[M],pos[N];
ll ans[M],add[M],sum[M],a[N],Read,f,x,y,z;
char ch;
ll read()
{
Read=0;
f=1;
ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9')
{
if (ch=='-') f=-f;
ch=getchar();
}
while (ch>='0'&&ch<='9')
Read=(Read<<3)+(Read<<1)+ch-48,ch=getchar();
return Read*f;
}
void change(int l,int r,ll z) //修改
{
int q=pos[l],p=pos[r];
if (q==p) //一个块暴力修改
{
for (register int i=l;i<=r;i++)
ans[q]+=2*(a[i]+add[q])*z+z*z,a[i]+=z,sum[q]+=z;
return;
}
for (register int i=l;i<=R[q];i++)
ans[q]+=2*(a[i]+add[q])*z+z*z,a[i]+=z,sum[q]+=z;
for (register int i=L[p];i<=r;i++) //分开
ans[p]+=2*(a[i]+add[p])*z+z*z,a[i]+=z,sum[p]+=z;
for (register int i=q+1;i<p;i++) //lazy修改
add[i]+=z,ans[i]+=2*sum[i]*z+z*z*(R[i]-L[i]+1),sum[i]+=z*(R[i]-L[i]+1);
}
ll ask1(int l,int r) //询问和
{
int q=pos[l],p=pos[r];
ll s=0;
if (q==p)
{
for (register int i=l;i<=r;i++) s+=(ll)(a[i]+add[q]); //暴力求和
return s;
}
for (register int i=l;i<=R[q];i++) s+=(ll)(a[i]+add[q]);
for (register int i=L[p];i<=r;i++) s+=(ll)(a[i]+add[p]);
for (register int i=q+1;i<p;i++) s+=sum[i];
return s;
}
ld ask2(int l,int r) //询问方差
{
int q=pos[l],p=pos[r];
ll Ans=0,Sum=0;
if (q==p)
{
for (register int i=l;i<=r;i++) //暴力
Sum+=a[i]+add[q];
ld Ave=(ld)Sum/(ld)(r-l+1),s=0.0;
for (register int i=l;i<=r;i++)
s+=((ld)a[i]+(ld)add[q]-Ave)*((ld)a[i]+(ld)add[q]-Ave);
return (ld)s/(ld)(r-l+1);
}
for (register int i=l;i<=R[q];i++) //左边
{
Ans+=(a[i]+add[q])*(a[i]+add[q]);
Sum+=a[i]+add[q];
}
for (register int i=L[p];i<=r;i++) //右边
{
Ans+=(a[i]+add[p])*(a[i]+add[p]);
Sum+=a[i]+add[p];
}
for (register int i=q+1;i<p;i++) //中间直接利用lazy
{
Ans+=ans[i];
Sum+=sum[i];
}
ld Ave=(ld)Sum/(ld)(r-l+1);
return ((ld)Ans-2.0*(ld)Sum*Ave+(ld)(r-l+1)*Ave*Ave)/(ld)(r-l+1);
//完全平方公式输出
}
int main()
{
n=read(),Q=read();
for (register int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
T=sqrt(n);
if (T*T<n) T++;
for (register int i=1;i<=T;i++)
{
L[i]=R[i-1]+1;
R[i]=min(i*T,n);
for (register int j=L[i];j<=R[i];j++)
{
pos[j]=i;
ans[i]+=a[j]*a[j];
sum[i]+=a[j];
}
}
while (Q--)
{
x=read();
if (x==0)
{
x=read(),y=read();
change(x,x,y);
}
else if (x==1)
{
x=read(),y=read(),z=read();
change(x,y,z);
}
else if (x==2)
{
x=read(),y=read();
printf("%lld\n",ask1(x,y));
}
else if (x==3)
{
x=read(),y=read();
printf("%0.10Lf\n",ask2(x,y));
}
}
return 0;
}