简析

对于每个 \(i,(1≤i<N)\)，我们将计算使 \(f(u,v)=w_i\) 的总数目 \((u,v)\)。当且仅当连接顶点 \(u\) 和 \(v\) 的路径包含边 \(i\) 且路径中任何其他边的权值都小于 \(w_i\) 时，\(f(u,v)=w_i\) 成立。

一个只包含权重小于 \(w_i\)​ 的边的图形成了一个森林，而 \(u_i\)​ 和 \(v_i\)​ 总是属于不同的连通分量。当且仅当 \(u\)​ 属于其中一个连接组件，\(v\)​ 属于另一个连接组件时，\(f(u,v)=w_i\) 成立。

因此，可以通过将边按权值递增的顺序添加到图中，并通过并查集这样的数据结构获取连通块的大小来解决这个问题。

（译自官方题解，略有改动）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,dis[N],fa[N],siz[N];
int getf(int x) {
  if(x^fa[x]) {
    return fa[x]=getf(fa[x]);
  }
  return x;
}
void merge(int x,int y) {
  x=getf(x),y=getf(y);
  if(x==y) {
    return ;
  }
  if(siz[x]<siz[y]) {
    fa[x]=y,siz[y]+=siz[x];
  } else {
    fa[y]=x,siz[x]+=siz[y];
  }
}
struct edge {
  int u,v,w;
  edge() {}
  edge(int x,int y,int z) {
    u=x,v=y,w=z;
  }
};
bool operator<(edge x,edge y) {
  return x.w<y.w;
}
vector<edge> v;
int main() {
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1,x,y,z; i<n; i++) {
    scanf("%d %d %d",&x,&y,&z),v.push_back(edge(x,y,z));
  }
  for(int i=1; i<=n; i++) {
    fa[i]=i,siz[i]=1;
  }
  sort(v.begin(),v.end());
  long long ans=0;
  for(auto i:v) {
    int u=getf(i.u),v=getf(i.v),w=i.w;
    ans+=(long long)w*siz[u]*siz[v],merge(u,v);
  }
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}