树形 DP 学习笔记

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mob604756f61e6c 2021-07-23 11:22:00

文章标签 算法 DP i++ 链式前向星状态转移 文章分类 代码人生

前言

由于能力限制，本文只介绍树形 DP 这个分类。

前置芝士：存图

~~不要以为是树就不用存图了~~

说道存图嘛，哎嘿嘿

链式前向星

~~没错又是它（阴魂不散）~~

这玩意已经介绍 \(n\) 遍了，这里就简单提一嘴。

这里的链式前向星相较于图论那块的少了 \(dis\)，因为这个边权没有用，其他的按照原来照搬就行。

正文

到了我们的树形 DP 了，一般的 DP 例如背包，区间，都是线形 DP，与树形 DP 不一样的是，线形 DP 题目一般不会给前驱和后继（一般都是按下标决定），而树形呢，你不存图试试，所以，树形 DP 就可以简化成线形 DP 加存图。

拿树形 DP 经典题 P1352 举例。

分析题目发现一个人有两种情况：

上司去或自己不想导致不去
上司没去或自己想导致去

由于有两种情况，所以状态转移方程，就有两个，现在我们用 \(f_{i,0}\) 表示一个人不去其下属活跃值的最大值，\(f{i,1}\) 表示一个人去，其自己活跃值，可得状态转移方程：

\[\begin{cases}& f_{i,0}=\sum \max(f_{x,1},f_{x,0})\\ & f_{i,1}=\sum f_{x,0} + a_i \end{cases} \]

所以代码为：

#include <iostream>

using namespace std;
int n,f[6001][2];
int head[6001],cnt;
int vis[6001],isgen[6001];

struct Node{
int to,next;
}edge[6001];

void add(int t1,int t2) {
edge[++cnt].to=t1;
edge[cnt].next=head[t2];
head[t2]=cnt;
}

void dfs(int root) {
vis[root]=1;
for (int i=head[root];i;i=edge[i].next) {
int x=edge[i].to;
if (!vis[x]) {
dfs(x);
f[root][1]+=f[x][0];
f[root][0]+=max(f[x][0],f[x][1]);
        }
    }
}

int main() {
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++) {
cin>>f[i][1];//用 f[i][1] 表示 i 的活跃值
    }
for (int i=1;i<n;i++) {
int t1,t2;
cin>>t1>>t2;
add(t1,t2);
isgen[t1]=1;//不是根
    }
for (int i=1;i<=n;i++) {
if (!is_gen[i]) {//判断是否为根
dfs(i);
cout<<max(f[i][0],f[i][1]);
return 0;
        }
    }
}