对有序表进行查找运算的时候，可以通过缩减问题的规模，大幅度提高查找效率。
首节点 5 的位置为0，尾结点 为 199 的地址为 11；
求和折半后（ （11+1）/ 2 ）计算出中间位置的地址为 5；
与 位置5 上的元素 43 比较，21 小于 43，因此 21 只能出现在左半段；
缩小查找范围，舍弃右半段；
重复折半查找的过程：
计算出中间位置为2 （此处2，指的是下标为2的位置），与 位置2 的 元素12 相比较，21>12。因此 21 只能出现在右半段，舍弃左半段。
现在查找段的首结点地址为3，尾结点地址为4，
求和折半后，计算出中间位置的地址为 3，与 位置3 上的 元素21 比较，恰好等于待查找元素21，查找成功！
核心思想：① 计算中值位置；② 缩小查找区间。
left 表示起点，right 表示终点，mid 表示中值点，数组 a 存放元素，x 为待查找元素
| left | 表示起点 |
| right | 表示终点 |
| mid | 表示中值点 |
| 数组 a[] | 存放元素 |
| x | 待查找元素 |
三条语句：
① 计算中值点：mid = (left + right) / 2
② 若 x = a[mid]，查找成功，返回mid，结束；
2.1 若 x < a[mid]，则往左缩小查找区间，重复上述过程；
2.2 若 x > a[mid]，则往右缩小查找区间，重复上述过程。
代码：
int binary_search(int a[]，int x，int left，int right){
int mid；
mid = （ left + right ）/ 2；// 计算中值点
if（ x == a[mid] ）// 若 x = a[mid]，查找成功，返回mid
return mid；
if（x < a[mid] ）
return binary_search（a，x，left，mid - 1）；// 问题的规模缩小了，但是问题的性质没变化，可以采用递归的方式，只是查找区间变为了 left ~ mid - 1 阶段。
else
return binary_search（a，x，mid + 1，right）；
}
例题：用二分法查找元素 83
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 5 | 8 | 12 | 21 | 29 | 43 | 52 | 64 | 70 | 81 | 87 | 199 |
| left | mid | right |
① left = 0，right = 11；
② 计算中值点：mid = （0+11）/ 2；
③ 第一次比较结果：x > a[5] （83 > 43），因此去掉左半段，修改 left 的值 left = mid + 1 = 6，变成如下：
| 下标 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 52 | 64 | 70 | 81 | 87 | 199 |
| left = mid + 1 = 6 | right |
开始第二次比较：
① left = 6，right = 11；
② 计算中值点：mid =（6 + 11）/ 2 = 8；
③ 第二次比较结果：x > a[8]（83 > 70），因此去掉左半段，修改 left 值，left = mid + 1 = 9，变成如下：
| 下标 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 81 | 87 | 199 |
| left = mid + 1 = 9 | right |
开始第三次比较：
① left = 9，right = 11；
② 计算中值点：mid =（9+11）/ 2 = 10；
③ 第三次比较结果：x < a[10]（83 < 87），因此去掉右半段，修改 rigth 值，right = mid - 1 = 9，变成如下：
| 下标 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 81 | 87 | 199 |
| right = mid - 1 = 9 | mid | right |
| 下标 | 9 |
| 元素 | 81 |
| right = mid - 1 = 9； left = 9； |
开始第四次比较：
① left = 9，right = 9；
② 计算中值点：mid =（9+9）/ 2 = 9；
③ 第四次比较结果：x > a[9]（83 > 81），因此修改 left 值，left = mid + 1 = 10，当 left > right 时，查找段已经不复存在，换言之，查找失败。
二分查找算法----代码部分：
① 第一种写法
int binary_search（int a[]，int x，int left，int right）{
int mid；
if（left > right） return -1；// 查找失败，返回 -1
mid =（left + right）/ 2；
if（ x == a[mid] ）
return mid；// 查找到，返回
if（ x < a[mid] ）
return binary_search（a，x，left，mid - 1）；// 左端查找
return binary_searc（a，x，mid + 1，right）；// 右端查找
}
② 第二种写法
int binary_search（int a[]，int n，int x）{
int left，right，mid；
left = 0；right = n-1；// 确定查找段的 起点 和 终点
while（left <= right）{
mid = （left + right）/ 2；
if（x == a[mid]）return mid；// 查找到，返回
if（x < a[mid]）
right = mid - 1；// 左端查找
else
left = mid + 1； // 右端查找
}
return -1；
}
关于上述两种算法：
第 ① 种：使用递归，代码更简洁清晰，可读性更好。但由于递归需要系统堆栈，所以空间消耗要比非递归
代码大很多。而且，如果递归深度太大，系统可能撑不住。
第 ② 种：速度快，结构简单，但可读性略逊一筹。
二分查找算法的核心思想是 “分而治之” ：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的，性质相同的子问题，以便各个击破，分而治之。
二分查找算法有两个前提：① 顺序存储；② 有序表。
二分查找法性能分析：
此处借助 “判定树” 简要分析一下算法的时间复杂度：
① 以有序数组 a[6] 为例，执行二分算法时
② 首先比较的是下标为 2 的元素 24，mid = （5+0）/ 2 = 2 // 注意，此处的 2 ，是下标！
③ 如果查找元素为 24，查找成功！
④ 如果比 24 小，那么再计算出来的 mid 值为 0，mid =（第②步里的 mid - 1）/ 2 =（2-1）/ 2 = 0
关于此处mid：开始时 mid =（5+0）/ 2 = 2 ，由于是 lift 和 right 都是 int 型，因此计算结果如例所示：
9/2 = 4；7/2 = 3；11/2 = 5；
⑤ 如果查找元素比 14 大，那么再计算出的 mid 值就是 1。// 舍弃 mid 与 mid 左侧段落，然后mid + 1 = 1
成功的查找：查找路径终结于结点 i，查找长度 = 结点 i 的层数
判定树中，24 需要一次比较，14和53 需要两次比较，17和43和76 需要三次比较，因此查找这个六个结点的平均查找长度为 =（1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3）/ 6 = 14/6，括号里的数字，可以这样理解：
① 假如我们寻找的元素是 24 ，那么开始时，仅寻找一个，就能找到它，因此查找长度为1；
② 假如我们寻找的元素是 14 ，那么开始时，需要途径两个元素（包括被寻找元素本身），因此长度为2；
又因为第二层，有两个元素，也就是 “14” 和 “53”，所以查找长度就是 2 + 2
③ 第三层同理
不成功的查找：
上图中用方框表示的结点，就是外结点。查找长度 = 外结点 i 之父的层数；
下面 x 对应的是待查找的元素
图中 0 灰色方片，对应 x < a[0] // 假如 x < 14 ，这个不等式可以表达为 x < a[0]
图中 1 灰色方片，对应 a[0] < x < a[1] // 假如 14< x < 17，这个不等式可以 表达为 a[0] < x < a[1]
图中 2 灰色方片，对应 a[1] < x < a[2] // 同上
图中 5 灰色方片，对应 a[4] < x < a[5] // 同上
图中 6 灰色方片，对应 x > a[5] // 同上
查找不成功的平均查找长度 =（2+3+3+3+3+3+3）/ 7 = 20 / 7
2： 24 → 14 → 方片0，所以两次 // 这是 x < 14 的情况；
3： 24 → 14 → 17 → 方片1，所以三次 // 这是 14< x < 17 的情况；
3： 24 → 14 → 17 → 方片2，所以三次 // 这是 17< x < 24 的情况；
3： 24 → 53 → 43 → 方片3，所以三次 // 这是 24< x < 43 的情况；
3： 24 → 53 → 43 → 方片4，所以三次 // 这是 43< x < 53 的情况；
3： 24 → 53 → 76 → 方片5，所以三次 // 这是 53< x < 76 的情况；
3： 24 → 53 → 76 → 方片6，所以三次 // 这是 x > 76 的情况。
因为 查找了 7 次，所以 查找总数 / 7 = 查找不成功的平均查找长度
