问题描述
在年轻的时候，我们故事中的英雄——国王 Copa——他的私人数据并不是完全安全地隐蔽。对他来说是，这不可接受的。因此，他发明了一种密码，好记又难以破解。后来，他才知道这种密码是一个长度为奇数的回文串。
Copa 害怕忘记密码，所以他决定把密码写在一张纸上。他发现这样保存密码不安全，于是他决定按下述方法加密密码：他选定一个整数 X ，保证 X 不小于 0 ，且 2X 严格小于串长度。然后他把密码分成 3 段，最前面的 X 个字符为一段，最后面的 X 个字符为一段，剩余的字符为一段。不妨把这三段依次称之为 prefix, suffix, middle 。显然， middle 的长度为一个大于 0 的奇数，且 prefix 、 suffix 的长度相等。他加密后的密码即为 A + prefix + B + middle + C + suffix ，其中 A 、 B 、 C 是三个由 Copa 选定的字符串，且都有可能为空， + 表示字符串相连。
许多年过去了。Copa 昨天找到了当年写下加密后字符串的那张纸。但是，Copa 把原密码、A、B、C 都忘了。现在，他请你找一个尽量长的密码，使得这个密码有可能被当年的 Copa 发明、加密并写下。
输入格式
输入包含一个只含有小写拉丁字母的字符串，长度在 1 到 10^5 之内。
输出格式
第一行包含一个整数 k ，表示你找到的原密码分成的 3 个部分中有多少个非空字符串。显然 k in {1, 3} 。接下来 k 行，每行 2 个用空格分开的整数 x_i l_i ，表示这一部分的起始位置和长度。要求输出的 x_i 递增。
起始位置 x_i 应该在 1 到加密后的字符串长度之间。 l_i 必须是正整数，因为你只要输出非空部分的信息。 middle 的长度必须为奇数。
如果有多组答案，任意一组即可。提示：你要最大化的是输出的 l_i 的总和，而不是 k 。
样例输入
abacaba
样例输出
1
1 7
样例输入
axbya
样例输出
3
1 1
2 1
5 1
样例输入
xabyczba
样例输出
3
2 2
4 1
7 2
数据规模和约定
对于 10% 的数据： n <= 10
对于 30% 的数据： n <= 100
对于 100% 的数据： n <= 100000
存在 20% 的数据，输出文件第一行为 1 。
刚开始四十分的思路（下面有AC代码）
输入一段字符串组成为： A + prefix + B + middle + C + suffix 。现在要求取 prefix + middle + suffix ，由于题目说：他选定一个整数 X ，保证 X 不小于 0 ，且 2X 严格小于串长度。那么X可取0。即当X = 0时，也只有一段——middle。
现在要求取最长的密码串：
（1）首先求取原字符串中的最长回文串长度，用maxLen0表示。
（2）由于suffix在字符串尾部，先将suffix反转，然后使用KMP算法，在原字符串中找到第一次与suffix匹配的字符串，记录suffix长度文len1。然后，求取者两端匹配字符串中间剩余的一段字符串的最大回文串的长度len2。此时，求取的密码长度maxLen = 2*len1 + len2。
在这种情况下，影响maxLen长度的因素就是初始选择的len1长度，len1长度变化，也会导致len2长度的变化。所以，我这里采用1 <= len1 < 原始字符串一半的方法来枚举，求取其中的最大maxLen。个人感觉就是在这里，才导致运算超时…
package com.liuzhen.systemExe;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class Main{
//找出字符串arrayA[i]到arrayA[j]中的最大回文串，并返回其初始位置和长度（PS：此方法称作中心扩展法）
public int[] getMaxReverse(char[] arrayA, int i, int j) {
int[] result = new int[2];
int max = 1;
int begin = i+1; //最大回文串的开始位置，初始化为字符i的位置
int zero = i; //保存i的初始值
for(i = i + 1;i < j;i++) {
int start = i - 1;
int end = i + 1;
int count = 1;
while(start >= zero && end <= j) { //对于此种情况，只返回奇数位回文串
if(arrayA[start] == arrayA[end]) {
start--;
end++;
count = count + 2;
}
else
break;
}
if(count > max) {
max = count;
begin = i - (count-1)/2 + 1;
}
}
result[0] = begin; //最大回文串开始位置
result[1] = max; //最大回文串长度
return result;
}
//此处代码是使用Manacher算法求取最大回文串，但是在蓝桥杯练习系统中评分时，也是运行超时，所以在求最大回文串就采用上面更易理解的方法
// public int[] getManacher(char[] arrayA, int i, int j) {
// int[] result = new int[2];
// ArrayList<Character> listA = new ArrayList<Character>();
// for(int y = i;y <= j;y++) {
// listA.add('#');
// listA.add(arrayA[y]);
// }
// listA.add('#');
// int[] P = new int[listA.size() + 1];
// int mx = 0;
// int d = 0;
// for(int y = 1;y <= listA.size();y++) {
// if(mx > y) {
// P[y] = (P[2 * d - y] > (mx - y) ? (mx - y) : P[2 * d - y]);
// } else {
// P[y] = 1;
// }
//
// while(y + P[y] < listA.size() && y - P[y] >= 0 && listA.get(y + P[y]) == listA.get(y - P[y]))
// P[y]++;
//
// if(mx < y + P[y]) {
// mx = y + P[y];
// d = y;
// }
// }
//
// int max = 0;
// int tempY = 0;
// for(int y = 0;y < P.length;y++) {
// if(P[y] > max) {
// max = P[y];
// tempY = y;
// }
// }
// int begin = (tempY - 1)/2;
// begin = begin - (max - 1) / 2 + i + 1;
// result[0] = begin;
// result[1] = max - 1;
// return result;
// }
//使用KMP模式匹配，计算next函数值
public int[] getNext(char[] arrayB) {
int[] next = new int[arrayB.length + 1];
int j = 0;
for(int i = 1;i < arrayB.length;i++) {
while(j > 0 && arrayB[i] != arrayB[j]) j = next[j];
if(arrayB[i] == arrayB[j]) j++;
next[i+1] = j;
}
return next;
}
//使用KMP算法，找出字符数组arrayB，在arrayA中第一次出现匹配的位置
public int getKmpFirstPosition(char[] arrayA, char[] arrayB) {
int position = -1;
int j = 0;
int[] next = getNext(arrayB);
for(int i = 0;i < arrayA.length;i++) {
while(j > 0 && arrayA[i] != arrayB[j]) j = next[j];
if(arrayA[i] == arrayB[j])
j++;
if(j == arrayB.length) {
position = i - j + 1;
break;
}
}
return position;
}
public void printResult(String A) {
//当选定整数X = 0时，输出第一行为1，此时只需在A中直接找到有段最长回文串即可，这时的密码最长
char[] arrayA = A.toCharArray();
int[] result0 = getMaxReverse(arrayA, 0, arrayA.length-1);
int maxLen0 = result0[1]; //获得此时回文串的最大长度
//当X ！= 0时，最长密码其尾部一定在输入的字符串尾部，即 suffix不为空
int j = arrayA.length - 1;
int maxLen = 0; //用于计算最长密码，初始化为0
int position1 = 0;
int position2 = 0;
int position3 = 0;
int len1 = 0;
int len2 = 0;
for(int lenS = 1;lenS < arrayA.length/2;lenS++) {
char[] tempS = new char[lenS];
for(int a = 0;a < lenS;a++)
tempS[a] = arrayA[j-a];
if(getKmpFirstPosition(arrayA, tempS) == -1) {
continue;
}
int tempPosition1 = getKmpFirstPosition(arrayA, tempS) + 1;
int endPosition1 = tempPosition1+lenS;
int startPosition3 = arrayA.length-lenS;
if(startPosition3 <= endPosition1)
continue;
int[] result = getMaxReverse(arrayA,tempPosition1+lenS-1,j-lenS);
int tempLen2 = result[1];
int tempPosition2 = result[0];
if(lenS * 2 + tempLen2 > maxLen) {
position1 = tempPosition1;
position2 = tempPosition2;
position3 = j - lenS + 2;
len1 = lenS;
len2 = tempLen2;
maxLen = lenS * 2 + tempLen2;
}
}
if(maxLen0 >= maxLen) {
System.out.println("1");
System.out.println(result0[0]+" "+result0[1]);
} else {
System.out.println("3");
System.out.println(position1+" "+len1);
System.out.println(position2+" "+len2);
System.out.println(position3+" "+len1);
}
}
public static void main(String[] args){
Main test = new Main();
Scanner in = new Scanner(System.in);
// System.out.println("请输入一个字符串：");
String A = in.nextLine();
test.printResult(A);
}
}
大概思路
d[u][len][state]表示当前递归到了这样一个状态：
1.当前密码串已经确定的长度是len
2.用字典树对已确定的密码串进行匹配，到当前状态时，字典树匹配到的结点是u
3.如果state的二进制数是00001010B，假设密码子串有5个，则表示当前状态已经出现的密码子串有按输入顺序的第2、4个。
这里实际是一个状态压缩，将所有密码的可能压缩到了三个参数上。
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.concurrent.ConcurrentLinkedQueue;
/**
*
* 这个题不是原题，原题来自<a href="https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=524&page=show_problem&problem=3517">UVALive</a>
* 方法是使用AC自动机（要理解AC自动机需要先掌握KMP算法和字典树） 以及DP算法
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n = 0;
int m = 0;
try {
// 读取数据
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String[] nm = br.readLine().split(" ");
n = Integer.parseInt(nm[0]);
m = Integer.parseInt(nm[1]);
// 构建AC自动机
AC ac = new AC(n, m);
for(int i = 0; i < m; i ++) {
ac.insert(br.readLine(), i);
}
br.close();
ac.build();
long ans = ac.dfs(0, 0, 0);
System.out.println(ans);
if(ans <= 42)
ac.print(0, 0, 0);
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
}
}
class AC{
int maxWord = 105; // AC自动机最大记录字母数，最大等于m*字符串最大长度=100，但是还有根节点，不妨设105
int dicLen = 26; // 每一个结点的最大子结点数，即有多少个字母
int maxLen = 30; // 最大密码长度 这里也是个点，不知道为什么写25会出错
int state = (1<<10) + 5; // 1 << M，实际上是一个用二进制表示的状态集，“1”位表示这个词已经出现过了
long[][][] dp = new long[maxWord][maxLen][state]; // 深度搜索、动态规划的矩阵 设d[u][len][state]表示最后一个是字典树的u结点 已选长度为len，状态为state的剩余种数
int[] fail = new int[maxWord]; // 状态转移表
int[] val = new int[maxWord]; // 用一个二进制化的整数表示当前已经出现了多少个词 全0表示当前没有出现词 全1表示字典中的词全出现了
int[] out = new int[dicLen]; // 输出用
public int[][] trie = new int[maxWord][dicLen]; // 字典树
private int nodeIndex = 1; // 当前的下标 0表示根结点
int n;
int m;
public AC(int n, int m) {
this.n = n;
this.m = m;
for(int i = 0; i < maxWord; i ++) { // 对数组全部赋-1，-1表示没有搜索过，0表示搜索过但是没有匹配项
for(int j = 0; j < maxLen; j ++) {
for(int k = 0; k < state; k ++) {
dp[i][j][k] = -1;
}
}
}
}
public void insert(String word, int v) {
int pre = 0;
for (int i = 0; i < word.length(); i ++) {
int code = toInteger(word.charAt(i));
if (trie[pre][code] == 0) { // 如果字典树中不存在这个结点
trie[pre][code] = nodeIndex ++; // 增加一个结点 记录这个值
}
pre = trie[pre][code];
}
val[pre] |= (1 << v); // 标记状态 如果AC自动机经过pre结点，则val[pre]记录的词都出现在了字符串中
}
/**构建next列表*/
public void build() {
ConcurrentLinkedQueue<Integer> queue = new ConcurrentLinkedQueue<Integer>();
// java自带的队列就是LinkedList 但LinkedList是线程不安全的 这里必需用线程安全的 因为有递归调用问题
// 把root的所有的子结点加入到队列中，并将这些结点的fail指向根结点
fail[0] = 0;
for (int c = 0; c < dicLen; c ++) {
int u = trie[0][c];
if (u != 0) {
fail[u] = 0;
queue.add(u);
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
// 弹出一个结点
int r = queue.poll();
// 遍历下面的每一个结点
for (int c = 0; c < dicLen; c ++) {
int u = trie[r][c];
if (u == 0) { // 如果字典树中不存在当前遍历的结点
trie[r][c] = trie[fail[r]][c]; // 子结点指向父节点失败结点的对应子结点
continue;
}
queue.add(u);
int v = fail[r];
while (v != 0 && trie[v][c] == 0) // 如果还存着fail结点，并且这个结点的对应子结点却不存在，实际就是访问所有fail链
v = fail[v];
fail[u] = trie[v][c]; // 要么存在 要么为0
val[u] |= val[fail[u]]; // 当前遍历这个结点的状态集等于 当前状态集 并上 失败结点指向的状态集
}
}
}
public long dfs(int now, int len, int st) {
if (dp[now][len][st] != -1) // 如果已经搜索过这个结点，直接返回
return dp[now][len][st];
dp[now][len][st] = 0; // 否则，开始搜索这个结点
if (len == n) {
if (st == (1 << m) - 1) // 假设输入的m是3，则1 << m后减1得 000...000111，表示3个词都出现了
return dp[now][len][st] = 1;
return dp[now][len][st] = 0;
}
for (int i = 0; i < dicLen; i++)
dp[now][len][st] += dfs(trie[now][i], len + 1, st|val[trie[now][i]]);
return dp[now][len][st];
}
public void print(int now, int len, int st) {
if (len == n) {
for (int i = 0; i < len ; i ++)
System.out.print((char)(out[i] + 'a'));
System.out.println();
return;
}
for (int i = 0; i < dicLen; i ++) { // 递归查找结果
if (dp[trie[now][i]][len + 1][st|val[trie[now][i]]] > 0) {
out[len] = i;
print(trie[now][i], len + 1, st|val[trie[now][i]]);
}
}
}
public int toInteger(char c) {
return c - 'a';
}
}
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