一般晚上或者周末更新，主要是上课笔记，还会有一部分记录在纸质书本上
2021.9.13
由于某些原因，今天的笔记鸽了
今天讲的东西不多，就记一下最小数原理的证明好了 \(Q \omega Q\)
我才不会告诉你我忘记带电脑了
最小数原理：集合 \(\mathbb{T} \sub \mathbb{N},\mathbb{T} \neq \varnothing\) ，那么 \(\mathbb{T}\) 中有最小数。
证明：
构造集合 \(\mathbb{S} = \{s\mid\forall t \in \mathbb{T}, s \leq t\}\)
显然 $ 1 \in \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \varnothing$
又有 \(\forall t \in \mathbb{T}, t + 1 \notin \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \mathbb{N}\)
所以一定 \(\exist s_0 \in \mathbb{S}， \ s_0 + 1 \notin \mathbb{S}\) （反证法，根据归纳公理显然）
下证 \(s_0 \in \mathbb{T}\) ，考虑反证
若 \(s_0 \notin \mathbb{T}\)，又 \(s_0 \in \mathbb{S}\)，所以有 \(\forall t \in \mathbb{T}, s_0 < t\)，则有 \(\forall t \in \mathbb{T}，s_0 + 1 \leq t \Rightarrow s_0 + 1 \in \mathbb{S}\) ，矛盾
故 \(s_0 \in \mathbb{T}\) 且 \(\forall t \in \mathbb{T}, s_0 \leq t\)，\(s_0\) 则为 \(\mathbb{T}\) 中的最小数，最小数原理得证
2021.9.15
实数
一、域的定义
设 \(\mathbb{F}\) 是集合，具有
- 加法 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x + y \in \mathbb{F}\)
- 乘法 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x \cdot y \in \mathbb{F}\)
- \(0\) 元 \(\forall x \in \mathbb{F},\exist 0 \in \mathbb{F}, 0 + x \in x\)
- 单位元 \(\exists 1 \in \mathbb{F}, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x\)
- 负元 \(\forall x \in \mathbb{F}, \exist -x \in \mathbb{F}, x + (-x) = 0\)
- 满足交换律，结合律，交换律
则称 \(\mathbb{F}\) 为一个域
二、有序域
设 \(\mathbb{F}\) 是一个域，若满足 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x < y, x > y, x = y\) 有且仅有一种成立，则 \(\mathbb{F}\) 有序，称为有序域
复数域 \(\mathbb{C}\) 不是有序域，复数的乘法运算与有序的定义不兼容
三、有界的定义
设 \(\mathbb{E} \sub \mathbb{F}\) ，若 \(\exists \beta \in \mathbb{F},\forall \alpha \in \mathbb{E}\) ，有 \(\alpha \leqslant(\geqslant) \beta\)，则称 \(\beta\) 是 \(\mathbb{E}\) 的上（下）界
四、确界的定义
若 \(\mathbb{E} \sub \mathbb{F}\) 有上界，若在 \(\mathbb{F}\) 中 \(\mathbb{E}\) 有最小（大）的上（下）界，则称为上（下）确界，记为 \(\sup \mathbb{E} \in \mathbb{F}\) 或者 \(\inf \mathbb{E} \in \mathbb{F}\)
五、确界原理
若 \(\mathbb{F}\) 中任意有上（下）界子集 \(\mathbb{E}\) 在 \(\mathbb{F}\) 中一定有上（下）确界，则称 \(\mathbb{F}\) 满足上（下）确界原理
定理：若 \(\mathbb{F}\) 满足上确界原理，则 \(\mathbb{F}\) 满足下确界原理
证明：
设 \(\mathbb{F}\) 满足上确界原理，要证 \(\forall \mathbb{E} \sub \mathbb{F}\)，\(\mathbb{E}\) 有下界则一定有下确界
构造 \(\mathbb{E}^\prime = \{\beta\mid\beta\)是 \(\mathbb{E}\) 的下界\(\} \sub \mathbb{F}\)
定理：存在满足确界原理的有序域
且以 \(\mathbb{Q}\) 为其子集的有序域记为 \(\mathbb{R}\) ，称为实数域
构造性证明，\(\text{Dedekind}\) 分割
实数的特点
- 与数轴上的点一一对应
- \(\mathbb{R}\) 是不可数的
① \(\text{Archimedes}\) 原理：
\(\forall x, y \in \mathbb{R}\) ，若 \(x > 0\)，则 \(\exist n \in \mathbb{N}\)，使得 \(nx > y \geqslant (n - 1)x\)
② \(\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中稠密：
\(\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y\)，一定 \(\exists z \in \mathbb{Q},\) 使得 \(x < z< y\)
\(\text{Archimedes}\) 原理证明：
设 \(\mathbb{E} = \{nx\mid n \in \mathbb{N}\} \sub \mathbb{R}\)
（反证）假如对 $\forall n,nx \leqslant y \Rightarrow y $ 是 \(\mathbb{E}\) 上界 \(\Rightarrow \mathbb{E}\) 有上确界
记 \(\alpha = \sup \mathbb{E} \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha - x < \alpha \Rightarrow \alpha - x\) 不是 \(\mathbb{E}\) 的上界
\(\exists mx \in \mathbb{E}\)，使得 \(\alpha - x < mx \Rightarrow \alpha < (m + 1)x \in \mathbb{E}\) 矛盾
所以 \(\exists n_0\) 使得 \(n_0x > y\)
\(\mathbb{S} = \{n \mid nx > y\} \neq \varnothing\)
\(\exists\) 最小的 \(n\)，\(nx > y \geqslant (n - 1)x\)
通过 \(\text{Archimedes}\) 原理证明两实数间存在另一有理数：
\(\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y \Rightarrow y - x > 0\)
根据 \(\text{Archimedes}\) 原理，\(\exists n\)，使得 \(n(y - x) > 1 \Rightarrow ny > 1 + nx\)
再对 \(1\) 和 \(nx\) 应用 \(\text{Archimedes}\) 原理
\(\exists m\) 使得 \(m \cdot 1 > nx \geqslant (m - 1) \cdot 1 \Rightarrow mx < m \leqslant nx + 1 < ny\)
\(\Rightarrow x < \frac{m}{n} < y\)，\(\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\)
无限小数
\(\forall x > 1, x \in \mathbb{R}\)
根据 \(\text{Archimedes}\) 原理，\(\exists a_0 \in \mathbb{N},a_0 \leqslant x < a_0 + 1\)
同上，\(\exists a_1 \in \mathbb{N}, a_1 \leqslant 10(x - a_0) < a_1 + 1(0 \leqslant a_1 \leqslant 9)\)
\(\Rightarrow a_0 + \frac{a_1}{10} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + 1\)
以此类推：\(a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} + 1\)
