2021秋数分B1笔记

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mob604756ef7d06 2021-09-15 23:19:00

文章标签 大学课程不兼容构造性证明 JAVA 文章分类 Java 后端开发

一般晚上或者周末更新，主要是上课笔记，还会有一部分记录在纸质书本上

2021.9.13

~~由于某些原因，今天的笔记鸽了~~

今天讲的东西不多，就记一下最小数原理的证明好了 $Q \omega Q$

~~我才不会告诉你我忘记带电脑了~~

最小数原理：集合 $\mathbb{T} \sub \mathbb{N},\mathbb{T} \neq \varnothing$ ，那么 $\mathbb{T}$ 中有最小数。

证明：

构造集合 $\mathbb{S} = \{s\mid\forall t \in \mathbb{T}, s \leq t\}$

显然 $ 1 \in \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \varnothing$

又有 $\forall t \in \mathbb{T}, t + 1 \notin \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \mathbb{N}$

所以一定 $\exist s_0 \in \mathbb{S}， \ s_0 + 1 \notin \mathbb{S}$ （反证法，根据归纳公理显然）

下证 $s_0 \in \mathbb{T}$ ，考虑反证

若 $s_0 \notin \mathbb{T}$，又 $s_0 \in \mathbb{S}$，所以有 $\forall t \in \mathbb{T}, s_0 < t$，则有 $\forall t \in \mathbb{T}，s_0 + 1 \leq t \Rightarrow s_0 + 1 \in \mathbb{S}$ ，矛盾

故 $s_0 \in \mathbb{T}$ 且 $\forall t \in \mathbb{T}, s_0 \leq t$，$s_0$ 则为 $\mathbb{T}$ 中的最小数，最小数原理得证

2021.9.15

实数

一、域的定义

设 $\mathbb{F}$ 是集合，具有

加法 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x + y \in \mathbb{F}$
乘法 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x \cdot y \in \mathbb{F}$
$0$ 元 $\forall x \in \mathbb{F},\exist 0 \in \mathbb{F}, 0 + x \in x$
单位元 $\exists 1 \in \mathbb{F}, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x$
负元 $\forall x \in \mathbb{F}, \exist -x \in \mathbb{F}, x + (-x) = 0$
满足交换律，结合律，交换律

则称 $\mathbb{F}$ 为一个域

二、有序域

设 $\mathbb{F}$ 是一个域，若满足 $\forall x, y \in \mathbb{F}, x < y, x > y, x = y$ 有且仅有一种成立，则 $\mathbb{F}$ 有序，称为有序域

复数域 $\mathbb{C}$ 不是有序域，复数的乘法运算与有序的定义不兼容

三、有界的定义

设 $\mathbb{E} \sub \mathbb{F}$ ，若 $\exists \beta \in \mathbb{F},\forall \alpha \in \mathbb{E}$ ，有 $\alpha \leqslant(\geqslant) \beta$，则称 $\beta$ 是 $\mathbb{E}$ 的上（下）界

四、确界的定义

若 $\mathbb{E} \sub \mathbb{F}$ 有上界，若在 $\mathbb{F}$ 中 $\mathbb{E}$ 有最小（大）的上（下）界，则称为上（下）确界，记为 $\sup \mathbb{E} \in \mathbb{F}$ 或者 $\inf \mathbb{E} \in \mathbb{F}$

五、确界原理

若 $\mathbb{F}$ 中任意有上（下）界子集 $\mathbb{E}$ 在 $\mathbb{F}$ 中一定有上（下）确界，则称 $\mathbb{F}$ 满足上（下）确界原理

定理：若 $\mathbb{F}$ 满足上确界原理，则 $\mathbb{F}$ 满足下确界原理

证明：

设 $\mathbb{F}$ 满足上确界原理，要证 $\forall \mathbb{E} \sub \mathbb{F}$，$\mathbb{E}$ 有下界则一定有下确界

构造 $\mathbb{E}^\prime = \{\beta\mid\beta$是 $\mathbb{E}$ 的下界$\} \sub \mathbb{F}$

定理：存在满足确界原理的有序域

且以 $\mathbb{Q}$ 为其子集的有序域记为 $\mathbb{R}$ ，称为实数域

构造性证明，$\text{Dedekind}$ 分割

实数的特点

与数轴上的点一一对应
$\mathbb{R}$ 是不可数的

① $\text{Archimedes}$ 原理：

$\forall x, y \in \mathbb{R}$ ，若 $x > 0$，则 $\exist n \in \mathbb{N}$，使得 $nx > y \geqslant (n - 1)x$

② $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密：

$\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y$，一定 $\exists z \in \mathbb{Q},$ 使得 $x < z< y$

$\text{Archimedes}$ 原理证明：

设 $\mathbb{E} = \{nx\mid n \in \mathbb{N}\} \sub \mathbb{R}$

（反证）假如对 $\forall n,nx \leqslant y \Rightarrow y $ 是 $\mathbb{E}$ 上界 $\Rightarrow \mathbb{E}$ 有上确界

记 $\alpha = \sup \mathbb{E} \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha - x < \alpha \Rightarrow \alpha - x$ 不是 $\mathbb{E}$ 的上界

$\exists mx \in \mathbb{E}$，使得 $\alpha - x < mx \Rightarrow \alpha < (m + 1)x \in \mathbb{E}$ 矛盾

所以 $\exists n_0$ 使得 $n_0x > y$

$\mathbb{S} = \{n \mid nx > y\} \neq \varnothing$

$\exists$ 最小的 $n$，$nx > y \geqslant (n - 1)x$

通过 $\text{Archimedes}$ 原理证明两实数间存在另一有理数：

$\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y \Rightarrow y - x > 0$

根据 $\text{Archimedes}$ 原理，$\exists n$，使得 $n(y - x) > 1 \Rightarrow ny > 1 + nx$

再对 $1$ 和 $nx$ 应用 $\text{Archimedes}$ 原理

$\exists m$ 使得 $m \cdot 1 > nx \geqslant (m - 1) \cdot 1 \Rightarrow mx < m \leqslant nx + 1 < ny$

$\Rightarrow x < \frac{m}{n} < y$，$\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$