一道中规中矩的构造题

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门

中规中矩的构造题一道。

首先考虑将两张图都向一个中间状态转化。方便起见我们取所有点都连向 \(1\) 号点的情形作为中间状态。

考虑怎样从初始状态向我们这个中间状态转化。显然我们要将所有不与 \(1\) 相连的对角线都变得与 \(1\) 相连对吧，那我们就考虑从 \(2\) 开始枚举每一个点 \(x\) 以及一个与 \(x\) 相连的边 \((x,y)(x<y)\)，满足 \(y\) 与 \(1\) 有边，如果 \(|x-y|>2\) 说明这条对角线不符合要求，我们就找出 \(x,y\) 所在的四边形，显然一个端点是 \(1\)，另一个端点枚举一下即可找出，假设为 \(z\)，那么我们就操作 \(1,x,y,z\) 构造的四边形，将 \((x,y)\) 变成 \((1,z)\)。如果我们找不到这样的 \(y\) 说明不存在与 \(x\) 相连的不合法的边，我们就继续进入到下一个 \(x\) 即可。容易发现每次操作会恰好使一个不合法的边变得合法，而总边数最多只有 \(n-1\)，因此总操作次数的上限为 \(2n-2\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

事实上本题如果用 bitset 优化数据范围可以出到 \(5\times 10^4\)，具体解法就是对每个点开一个 bitset 存储与其相连的点，然后用 bitset 的取并和 _Find_first() 函数找出符合要求的 \(y\)，再用 bitset 的取并找出 \(x,y\) 对应的 \(z\)。

const int MAXN=1000;
int n;
struct solver{
	vector<pii> op;int tp,a[MAXN+5][MAXN+5];
	void read(){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);a[u][v]=a[v][u]=1;}
	void work(){
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i%n+1][i]=a[i][i%n+1]=1;
		for(int i=2;i<n;i++) if(a[1][i]){
			while(1){
				int ps=n;
				for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[1][j]){ps=j;break;}
				if(ps==i+1) break;
				for(int j=i+1;j<ps;j++) if(a[ps][j]&&a[i][j]){
					a[j][1]=a[1][j]=1;a[i][ps]=a[ps][i]=0;
					(tp)?op.pb(mp(i,ps)):op.pb(mp(1,j));break;
				}
			}
		}
	}
} s1,s2;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n-3;i++) s1.read();
	for(int i=1;i<=n-3;i++) s2.read();
	s1.tp=1;s1.work();s2.work();printf("%d\n",s1.op.size()+s2.op.size());
	for(int i=0;i<s1.op.size();i++) printf("%d %d\n",s1.op[i].fi,s1.op[i].se);
	for(int i=(int)(s2.op.size())-1;~i;i--) printf("%d %d\n",s2.op[i].fi,s2.op[i].se);
	return 0;
}