题目描述

给定 $\{a_n\}$ ，求 $(a_i+a_j)|i-j|$ 的最大值。

数据范围

$1 \le n,a_i \le 10^6$

题解

怎么会有傻瓜想三分呢？怎么会有傻瓜决策单调总是想不出来呢？

假设选出 $i,j$ ，且 $i<j$ ，那么 $i$ 左侧一定没有比它大的点，同理， $j$ 右侧一定没有比它小的点。

于是我们可以弄出一个左侧单增序列和右侧单增序列。然后对于左侧的点在右侧寻找决策点。（然后猜一下决策单调就过了。）把那个式子变成 $(a_i-(-a_j))|i-j|$ ，在数轴上画出来就是矩形，然后就很好证明决策单调了。

决策单调用分治实现。

效率： $O(nlogn)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,a[N],q1[N],q2[N],t1,t2,f[N];LL s;
inline LL calc(int i,int j){
    if (i>j) swap(i,j);
    return 1ll*(a[i]+a[j])*(j-i);
}
void solve(int l,int r,int L,int R){
    if (L==R){
        for (int i=l;i<=r;i++) f[i]=L;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;f[mid]=L;
    for (int i=L+1;i<=R;i++)
        if (calc(q2[f[mid]],q1[mid])<calc(q2[i],q1[mid]))
            f[mid]=i;
    if (l<mid) solve(l,mid-1,f[mid],R);
    if (mid<r) solve(mid+1,r,L,f[mid]);
}
int main(){
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        if (!t1 || a[q1[t1]]<a[i]) q1[++t1]=i;
    }
    for (int i=n;i;i--)
        if (!t2 || a[q2[t2]]<a[i]) q2[++t2]=i;
    solve(1,t1,1,t2);
    for (int i=1;i<=t1;i++)
        s=max(s,calc(q1[i],q2[f[i]]));
    cout<<s<<endl;
    return 0;
}