(1)(x, y): = {{x}, {x, y}}.(x’, y’): = {{x’}, {x’, y’}}.
(1)x = y.此时{{x}, {x, y}} = {{x}}.{{x}} = {{x’}, {x’, y’}}.则{x’} = {x’, y’}.则x’ = y’.则{{x}} = {{x’}}.则{x}={x’}则x = x’.成立.(2)x ≠ y.此时若{x}={x’},则{x,y}={x’, y’}.则x=x’.y=y’.若{x}={x’, y’}则x’ = y’ = x.{x,y}={x’},则x=y=x’矛盾.
若x=x’.则{x,y} ≠ {x’}否则x={x,y}.x集是一个集合,该集合含有自身,与正则公理的推论矛盾.可见{x, y} = {x’, y’}.因为x = x’所以y = y’.成立.若x ≠ x’则x = {x’, y’}.同样易证此时{x,y} ≠ {x’, y’}.则{x,y}=x’.则x={{x,y},y’}.易证x ≠ y’.否则x={x’, x}.一个集合含有本身是不允许的.可见,x必须等于x’.完毕