寻找两个有序数组的中位数

原创

mb5ff981d806017 2021-01-12 09:44:03 ©著作权

文章标签 java 文章分类 Java 后端开发

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题目地址

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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思路

首先了解一下Median的概念，一个数组中median就是把数组分成左右等分的中位数。

如下图：

寻找两个有序数组的中位数_java

这道题，很容易想到暴力解法，时间复杂度和空间复杂度都是 O(m+n), 不符合题中给出 O(log(m+n))时间复杂度的要求。我们可以从简单的解法入手，试了一下，暴力解法也是可以被Leetcode Accept的. 分析中会给出两种解法，暴力求解和二分解法。

解法一 - 暴力（Brute Force）

暴力解主要是要merge两个排序的数组 （A，B）成一个排序的数组。

用两个 pointer（i，j）， i 从数组 A起始位置开始，即 i=0开始， j 从数组 B起始位置，即 j=0开始. 一一比较 A[i]和B[j],

如果 A[i]<=B[j], 则把 A[i] 放入新的数组中，i往后移一位，即 i+1.
如果 A[i]>B[j], 则把 B[j] 放入新的数组中，j往后移一位，即 j+1.
重复步骤#1 和 #2，直到 i移到 A最后，或者 j移到 B最后。
如果 j移动到 B数组最后，那么直接把剩下的所有 A依次放入新的数组中.
如果 i移动到 A数组最后，那么直接把剩下的所有 B依次放入新的数组中.

Merge的过程如下图。

寻找两个有序数组的中位数_java_02

时间复杂度：O(m+n)-mislength of A,nislength of B

空间复杂度：O(m+n)

解法二 - 二分查找（Binary Search）

由于题中给出的数组都是排好序的，在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找（Binary Search), 这里对数组长度小的做二分，保证数组A 和数组B 做partition 之后

len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2-m是数组A的长度，n是数组B的长度

对数组A的做partition的位置是区间 [0,m]

如图：

寻找两个有序数组的中位数_java_03

下图给出几种不同情况的例子（注意但左边或者右边没有元素的时候，左边用 INF_MIN，右边用 INF_MAX表示左右的元素：

寻找两个有序数组的中位数_java_04

下图给出具体做的partition 解题的例子步骤，

寻找两个有序数组的中位数_java_05

时间复杂度：O(log(min(m,n))-mislength of A,nislength of B

空间复杂度：O(1) - 这里没有用额外的空间

关键点分析

暴力求解，在线性时间内merge两个排好序的数组成一个数组。
二分查找，关键点在于

要partition两个排好序的数组成左右两等份，partition需要满足 len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度
并且partition后 A左边最大( maxLeftA), A右边最小（ minRightA), B左边最大（ maxLeftB), B右边最小（ minRightB) 满足 (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)

有了这两个条件，那么median就在这四个数中，根据奇数或者是偶数，

奇数：median = max(maxLeftA, maxLeftB)偶数：median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2

代码（Java code）

解法一 - 暴力解法（Brute force）

class MedianTwoSortedArrayBruteForce {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {      int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);      int n = newArr.length;      if (n % 2 == 0) {        // even        return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;      } else {        // odd        return (double) newArr[n / 2];      }    }    private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {      int m = nums1.length;      int n = nums2.length;      int[] res = new int[m + n];      int i = 0;      int j = 0;      int idx = 0;      while (i < m && j < n) {        if (nums1[i] <= nums2[j]) {          res[idx++] = nums1[i++];        } else {          res[idx++] = nums2[j++];        }      }      while (i < m) {        res[idx++] = nums1[i++];      }      while (j < n) {        res[idx++] = nums2[j++];      }      return res;    }}

解法二 - 二分查找（Binary Search

class MedianSortedTwoArrayBinarySearch {
public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int[] nums1, int[] nums2) {
// do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)).
if (nums1.length > nums2.length) {
return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1);
}
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int lo = 0;
int hi = m;
while (lo <= hi) {
// partition A position i
int i = lo + (hi - lo) / 2;
// partition B position j
int j = (m + n + 1) / 2 - i;
int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {
// total length is even
if ((m + n) % 2 == 0) {
return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
} else {
// total length is odd
return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);
}
} else if (maxLeftA > minRightB) {
// binary search left half
hi = i - 1;
} else {
// binary search right half
lo = i + 1;
}
}
return 0.0;
}
}