HDU7055 Yiwen with Sqc 推式子

题意

\(sqc(s,i,j,c)\)表示字符串\(s\)中字符\(c\)在区间\([l,r]\)出现次数

求


\[\sum_{c=97}^{122}\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n sqc(s,i,j,c)^2\]


\[1 \leq T \leq 100\\|s| \leq 10^5 \]


分析

题解的做法太巧妙 没有想到，万能的笨办法：枚举端点

考虑对每个字符分别求和

把字符串中等于当前位置的字符看成1，否则看成0，这样相当于求1的前缀和平方

枚举左端点，我们就可以试图去维护这样的东西，因为1的贡献就是\(\sum i^2\) 可以根据当前1的个数直接求，我们只需要维护0的贡献

把连续的0分段，得到0的贡献就是\(\sum cnt[i]j^2\)

考虑左端点右移对0的贡献的影响就是\(cnt[i]j^2 -> cnt[i](j-1)^2 = cnt[i]j^2 - cnt[i]2j + cnt[i]\)

发现第一项不变，第二项可以继续维护，第三项可以预处理后缀和，第二项维护方法仍然类似，考虑左端点又移可能的影响\(cnt[i]2j -> cnt[i]2(j-1) -> cnt[i]2j - cnt[i]\)

这样就能够\(O(1)\)维护了

代码

调试了很久，这类题一定要想清楚过程再写，否则一定是浪费机时

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<ll,ll>
#define fi first
#define se second
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll rd(){
  ll x;
  scanf("%lld",&x);
  return x;
}


const int maxn = 1e5 + 5;
const int MOD = 998244353;

inline int mul(int a,int b){
  return (ll)a * b % MOD;
}

inline void add(int &a,int b){
  a += b;
  if(a >= MOD) a -= MOD;
}

inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
  int ans = 1;
  int base = a;
  while(b){
    if(b & 1) ans = mul(ans,base);
    base = mul(base,base);
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

char s[maxn];
int Get[maxn];


int suf[maxn];
int Suf[maxn];

int main(){
  //freopen("input.txt","r",stdin);
  int T = rd();
  for(int i = 1;i < maxn;i++){
    Get[i] = Get[i - 1] + (ll)i * i % MOD;
    if(Get[i] >= MOD) Get[i] -= MOD;
  }
  while(T--){
    scanf("%s",s);
    int n = strlen(s);
    int ans = 0;
    int mulsuf;
    for(char ch = 'a';ch <= 'z';ch++){
      for(int i = 0;i <= n + 1;i++)
        suf[i] = Suf[i] = 0;
      mulsuf = 0;
      int cnt = 0;
      int cnt_1 = 0;
      for(int i = 0;i < n;i++)
        if(s[i] != ch) suf[cnt]++;
        else {
          cnt_1++;
          if(suf[cnt]) add(mulsuf,(ll)2 * suf[cnt++] * (cnt_1 - 1) % MOD); 
        }
      if(!suf[cnt]) cnt--;
      if(s[n - 1] != ch) add(mulsuf,(ll)2 * suf[cnt] * (cnt_1) % MOD);
      if(!cnt_1) continue;
      Suf[cnt + 1] = 0;
      for(int i = cnt;i >= 0;i--){
        Suf[i] = Suf[i + 1] + suf[i];
        if(Suf[i] >= MOD) Suf[i] -= MOD;
      }
      /*
      if(ch == 'a') {
        cout << cnt << '\n';
        for(int i = 0;i <= cnt;i++)
          cout << suf[i] << ' ';
        puts("");
        for(int i = 0;i <= cnt;i++)
          cout << Suf[i] << ' ';
        puts("");
      }*/
      
      /*
      for(int i = st,j = 1;i <= cnt;i++,j++){
        add(mulsuf,2 * j * suf[i]);
      }*/
      int lst = 0;
      int sb = 0;
      for(int i = 0;i < n;i++){
        if(s[i] == ch) sb++;
        add(lst,mul(sb,sb));
      }
      add(ans,lst);
      int fro = !(s[0] == ch);
      int Lst = lst - Get[cnt_1];
      Lst = (Lst + MOD) % MOD;
      
      for(int i = 1;i < n;i++){
        //if(ch == 'a') cout << i << ' ' << mulsuf << ' ' << lst << ' ' << Lst << '\n';
        if(s[i - 1] != ch) {
          add(ans,lst);
        }
        else if(s[i - 1] == ch && s[i] == ch) {
          cnt_1--;
          lst = Get[cnt_1];
          Lst -= mulsuf;
          add(Lst,MOD);
          add(Lst,Suf[fro]);
          mulsuf -= (2 * Suf[fro]) % MOD;
          add(mulsuf,MOD);
          //add(Lst,Suf[fro]);
          //fro++;
          add(lst,Lst);
          add(ans,lst);
        }
        else if(s[i - 1] == ch && s[i] != ch) {
          cnt_1--;
          lst = Get[cnt_1];
          Lst -= mulsuf;
          add(Lst,Suf[fro]);
          add(Lst,MOD);
          mulsuf -= (2 * Suf[fro]) % MOD;
          add(mulsuf,MOD);
          //add(Lst,Suf[fro]);
          fro++;
          add(lst,Lst);
          add(ans,lst);
        }
      }
      //cout << ans << '\n';
    }
    printf("%d\n",ans);
  }
}