题目

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小 L 最近沉迷于塞尔达传说：荒野之息（The Legend of Zelda: Breath of The Wild）无法自拔，他尤其喜欢游戏中的迷你挑战。

游戏中有一个叫做 LCT 的挑战，它的规则是这样子的：现在有一个 \(N\) 个点的树，每条边有一个整数边权 \(v_i\)，若 \(v_i \geq 0\)，表示走这条边会获得 \(v_i\) 的收益；若 \(v_i \lt 0\) ，则表示走这条边需要支付 \(-v_i\) 的过路费。小 L 需要控制主角 Link 切掉（Cut）树上的恰好 \(K\) 条边，然后再连接 \(K\) 条边权为 0 的边，得到一棵新的树。接着，他会选择树上的两个点 \(p,q\)，并沿着树上连接这两点的简单路径从 \(p\) 走到 \(q\)，并为经过的每条边支付过路费/ 获取相应收益。

海拉鲁大陆之神 TemporaryDO 想考验一下 Link。他告诉 Link，如果 Link 能切掉合适的边、选择合适的路径从而使 总收益 - 总过路费 最大化的话，就把传说中的大师之剑送给他。

小 L 想得到大师之剑，于是他找到了你来帮忙，请你告诉他，Link 能得到的 总收益 - 总过路费 最大是多少。

\(n,k\leq 3\times 10^5\)，\(|v_i|\leq 10^6\)。

思路

问题等价于在树上选择 \(k\) 条不交路径，使得它们的权值之和最大。

设 \(f[x][i][0/1/2]\) 表示点 \(x\) 的子树内，选择了 \(i\) 条路径，其中点 \(x\) 相连的边选择了 \(0/1/2\) 条的最大权值和。

转移的话，就考虑新加入 \(x\) 的一个儿子 \(y\)，讨论一下这条边选不选就行了。时间复杂度 \(O(nk^2)\)。

这样显然过不了。题解愉快的告诉我们，随着 \(k\) 不断增大，\(f\) 是一个凸函数，直接上 WQS 二分。二元组 \(f[x][0/1/2]\) 表示点 \(x\) 的子树内，选择若干条路径，其中点 \(x\) 相连的边选择了 \(0/1/2\) 条的最大权值和，以及此时选择的路径最多是多少条。

至于为什么 \(f\) 是一个凸函数我也不清楚，反正出题人说是就是吧（什

时间复杂度 \(O(n\log (nV))\)。\(V\) 是值域。

代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=300010;
const ll Inf=1e18;
int n,m,tot,head[N];
ll ans;

struct edge
{
  int next,to,dis;
}e[N*2];

struct node
{
  ll a,b;
  
  friend node operator +(node x,node y)
  {
    return (node){x.a+y.a,x.b+y.b};
  }
}f[N][3];

node max(node x,node y)
{
  if (x.a>y.a) return x;
  if (x.a<y.a) return y;
  return (node){x.a,max(x.b,y.b)};
}

void add(int from,int to,int dis)
{
  e[++tot]=(edge){head[from],to,dis};
  head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa,ll mid)
{
  f[x][0]=(node){0,0}; f[x][1]=(node){-Inf,0}; f[x][2]=(node){-mid,1};
  for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
  {
    int v=e[i].to;
    if (v!=fa)
    {
      dfs(v,x,mid);
      f[x][2]=max(f[x][2],f[x][2]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
      f[x][2]=max(f[x][2],f[x][1]+max(f[v][0]+(node){e[i].dis,0},f[v][1]+(node){e[i].dis+mid,-1}));
      f[x][1]=max(f[x][1],f[x][1]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
      f[x][1]=max(f[x][1],f[x][0]+max(f[v][1]+(node){e[i].dis,0},f[v][0]+(node){e[i].dis-mid,1}));
      f[x][0]=max(f[x][0],f[x][0]+max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2])));
    }
  }
}

int main()
{
  memset(head,-1,sizeof(head));
  scanf("%d%d",&n,&m);
  m++;
  for (int i=1,x,y,z;i<n;i++)
  {
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    add(x,y,z); add(y,x,z);
  }
  ll l=-3e11,r=3e11,mid;
  while (l<=r)
  {
    mid=(l+r)>>1;
    dfs(1,0,mid);
    node res=max(f[1][0],max(f[1][1],f[1][2]));
    if (res.b>=m) l=mid+1,ans=res.a+res.b*mid;
      else r=mid-1;
  }
  cout<<ans;
  return 0;
}