CF1153F-Serval and Bonus Problem【dp,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1153F

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题目大意

在有\(n\)个区间的左右端点在\([0,l)\)范围内随机，求被至少\(k\)个区间覆盖的期望长度。

\(1\leq n,k\leq 2000,1\leq l\leq 10^9\)

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解题思路

长度为\(l\)上的数轴上\(2\times n\)个随机点的话期望距离都是\(\frac{l}{2n+1}\)。

所以我们只需要考虑期望有多少个相邻点对之间被\(k\)个区间覆盖然后再乘上上面那个长度就行了。

然后考虑\(dp\)，设\(f_{i,j}\)表示现在到第\(i\)个端点，前面有\(j\)个区间延伸过来，之后还剩\(n-j-\frac{i-j}{2}\)个还没有出现的区间，\(j\)个还待结束的区间。

然后每次转移完加上不小于\(k\)个区间延伸到下一个的概率即可。

时间复杂度：\(O(nk)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4100,P=998244353;
ll n,k,l,ans,inv[N],f[N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&l);
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)
		inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;
	f[0][0]=1;
	for(ll i=0;i<2*n;i++){
		for(ll j=0;j<=min(i,n);j++){
			if((i-j)&1)continue;
			ll w=n-j-(i-j)/2;
			if(j)(f[i+1][j-1]+=f[i][j]*j%P*inv[w*2+j]%P)%=P;
			(f[i+1][j+1]+=f[i][j]*w*2ll%P*inv[w*2+j]%P)%=P;
		}
		for(ll j=k;j<=min(i,n);j++)
			(ans+=f[i][j])%=P;
	}
	for(ll j=k;j<=n;j++)
		(ans+=f[2*n][j])%=P;
	printf("%lld\n",ans*l%P*inv[2*n+1]%P);
	return 0;
}