Martins P., Marinho Z. and Martins A. \(\infty\)-former: Infinite Memory Transformer. arXiv preprint arXiv:2109.00301, 2021.

概

在transformer中引入一种长期记忆机制.

主要内容

假设\(X \in \mathbb{R}^{L \times d}\), 即每一行\(x_i\)代表一个token对应的特征.
Attention需要进行如下的步骤:

\[Q = XW^Q, K = X W^K, V = XW^V, \\ Z = \mathrm{softmax}(\frac{QK^T}{\sqrt{d}})V. \]

为了符号简易起见, 我们不考虑multi-head的情形, 下面的思想可以直接应用之.

我们知道, 可以通过径向基函数来逼近任意的连续函数:

\[\sum_{k} b_k \psi_k (t) \rightarrow f(t). \]

现在, 我们令\(t_i = \frac{i}{L}\), 即对\(L\)个tokens冠以时序, \(X\)的每一列都可以看成一个特殊的\(f_j(t)\)的位于\(t_i, i=0,1,\cdots, L-1\)处的值.
给定\(N\)个基函数\(\psi_k (t), k=0,1,\cdots, N-1\), 我们要通过求解系数\(\bm{b}_j = [b_{j0}, b_{j1},\cdots b_{j,N-1}]^T\)来逼近\(f_j\)(\(X\)的第\(j\)列).
设\(\Psi \in \mathbb{R}^{N \times L}, \Psi_{ki}=\psi_{k}(t_i)\), \(B \in \mathbb{R}^{d \times N}, B_{jk} = b_{jk}\).
作者通过岭回归来求解系数\(b\):

\[B = \arg \min_{B} \|B \Psi - X^T\|_F^2 + \lambda \|B\|_F^2, \]

其显示表达式为:

\[B = X^T\Psi^T(\Psi\Psi^T + \lambda I)^{-1}. \]

故

\[X^T \approx B\Psi \rightarrow x_i \approx B \psi (t_i). \]

现在我们用\(\tilde{X} := \Psi^T B^T\)来代替\(X\), 则

\[K = \tilde{X} W^K = \Psi^TB^TW^K, \tilde{V} = \tilde{X}W^V = \Psi^TB^TW^V. \]

注意, 我们并不对\(Q\)进行替换, 因为这个只是用作长期的记录用, Q每次重新计算.
对于每个\(q_i\), 我们构建一个其关于\(t\)的密度函数\(p_i(t)\), 文中假设其满足高斯分布:

\[\mathcal{N}(t; \mu_i; \sigma_i^2). \]

\(\mu_i, \sigma_i^2\)分别通过如下估计:

\[\mu_i = \mathrm{sigmoid} (w_{\mu}^T K q_i) =\mathrm{sigmoid} (w_{\mu}^T B^TW^K q_i), \\ \sigma^2_i = \mathrm{softplus} (w_{\sigma}^T K q_i) =\mathrm{sigmoid} (w_{\sigma}^T B^TW^K q_i). \\ \]

注意最后令\(w^T\Psi^T = w^T\)既然\(\Psi\)是事先确定的.
我们知道

\[\mathrm{softmax}(\frac{Kq_i}{\sqrt{d}}) \]

实际上求解的是一个离散化的\(p_i(t)\), 即\(q_i\)和\(k_j\)的相合程度, 而

\[\mathrm{softmax}(\frac{Kq_i}{\sqrt{d}})^TV \]

实际上就是求解期望

\[\mathbb{E}_{p_i}[v(t)]. \]

现在我们近似了一个连续的\(p_i(t)\), 也可以通过这种方式得到最后的\(z_i\):

\[\mathbb{E}_{p_i}[v(t)] =\mathbb{E}_{p_i}[\psi^T(t)B^TW^V] =\mathbb{E}_{p_i}[\psi^T(t)]B^TW^V. \]

当我们取\(\psi\)为高斯径向基函数的时候, 上述是由显示解的.

现在来剖析一下, 好在哪里?
原本的\(K\)是\(L\times d\)的, 现在由于我们只需要计算\(B^TW\), 故实际上只有\(N \times d\), 我们可以选取很大的\(L\)但是选择较小的\(N\)来避免较高的复杂度.

如何扩展?

难不成每一次都要重新计算\(B\)? 倘若真的是这样就谈不上是长期记忆了.
作者采取了一种比较巧的方法, 实际上, 现在的\(B\psi(t)\)可以看成是一个\(d\)维的向量函数.
我们首先将其进行压缩至\([0, \tau], \tau \in (0, 1)\):

\[B\psi(t /\tau), \]

如此一来, 整个函数的能量集中在\([0, \tau]\)中, 我们可以用剩下的\((\tau, 1]\)来放置新的\(X\).
我们首先从\([0, \tau]\)中采样\(M\)个点\(t_0, \cdots, t_{M-1}\), 并得到:

\[X_{past} = [x_0, \cdots, x_{M-1}]^T \in \mathbb{R}^{M \times d}, x_m=\psi^T(t_m/\tau)B^T. \]

加上新的\(X_{new}\), 我们有

\[X = [X_{past}^T, X_{new}^T]^T \in \mathbb{R}^{(M + L) \times d}, \]

对\(X\)按照上面的逻辑重新估计\(B\)即可更新记忆.

关于如何采样这\(M\)个点, 作者提了一种sticky memories的方法, 将其与密度函数联系在一起, 便不细讲了.

实验细节

在看这篇论文的时候, 困扰我的就是这个径向基函数是怎么选的?
举一个作者在Language Modeling中的例子便可:
选取150个高斯径向基函数\(\mathcal{N}(t;\mu, \sigma^2)\), 其中
\(\mu\)从\([0, 1]\)中均匀采样, \(\sigma \in \{0.01, 0.05\}\).

还有用KL散度防止一般化就不讲了. 感觉本文有趣的点就是压缩这个地方, 还有对\(\Psi\)的处理.