对最大流问题比较感性的认识，要看证明还是要看算法导论的相关章节。
最大流问题：
给定一个有向图，一般情况下边的值为整数，定义不直接相连的节点间的边值为0，如果有节点i和j直接由多条边，则将这些边合并为一条，值取和。则若i到j有边，则j到i的边为0，这些边称为反向边。定义其中的两个点位源点和汇点，则这个有向图可以视为流网络。网络中的有向边的值表示可以通过该边的最大流量，最大流问题就是求从源点出发，流进汇点的最大流量。
为了求最大流，必须了解残余网络，增广路径，反向弧等概念。
残余网络是针对流网络的某个状态而定义的。
如图是一个流网络的状态，其中1为源点，7为汇点，每天边的值为v/c的形式表示，v代表当前状态该边上的实际流量，c代表该边的最大流量：
则它的残余网络就是从中找到一个从源点到汇点的路径（该路径中不存在值为0的边），选取这条路径中v的最小值minflow，也就是该路径的实际流量，然后将该路径的所有边的实际容量都更新为c(i,j)-minflow，并修改其反向边的值为c(j,i)+minflow（这一步的意义可能是直接的贪心求法无法得到最优解，需要增加方向边来修正错误？）。这样的一条路径称为增广路径，修改值后的流网络成为残留网络。增广路径的意义在于能给当前最大流增加多少的值，而残余网络的意义在于每个节点从源点的流入量还能增加多少，0表示不能再增加了。当残留网络中没有增光路经时，则当前流入汇点的流值为最大流。
下图是找到两条增光路经，并修改流网络后的残余网络（我感觉此时3到4，5到6和6到7之间应该仍然为0）：
以上方法为Ford-Fulkerson方法，该方法的一种实现是基于BFS的Edmonds-Karp算法。
算法流程如下：
设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；
Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；
Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；
Repeat:
Path清空；
源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；
While Q非空 and 汇点T未访问 do
Begin
队首顶点u出对；
For每一条从u出发的弧(u,v) do
If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；
Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；
End while
If(汇点T已访问)
Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；
Until 汇点T未被访问
POJ上一到入门级的最大流问题：例题
例题的代码实现，基本仿照参考链接：
说明：
start：源点
terminal：汇点
map[LEN][LEN]：流网络
bfsqueue：每一状态中，用BFS最增广路经，每次只求一条增广路径
minflow[LEN]：记录从源点流入每个点的最大可能值，这个值也将该路径中的最小值（该路径的实际流量）一直传递到汇点。该值是每次BFS都要保留的
path[LEN]：记录增广路径，其中path[j] = i表示从节点 i 流向节点 j 。同时也记录了每次bfs时记录是否考察了当前节点。
每次BFS完后，查看path[terminal]，如果path[terminal]==-1，则表示没有从源点到汇点的增广路径了。
每次BFS完后，要更新增广路径中的容量和方向路径的容量，因为minflow已经记录了增光路经中的最小值，用minflow[terminal]更新即可。
#define LEN 201
int map[LEN][LEN];
int minflow[LEN];
int n,m;
int start;
int terminal;
queue< int> bfsqueue;
int bfs(int path[LEN]){
memset(path,-1, sizeof (int )*LEN);
while (!bfsqueue.empty()) bfsqueue.pop();
path[start] = 0;
minflow[start] = MAXINT;
bfsqueue.push(start);
while (!bfsqueue.empty()){
int node = bfsqueue.front();
bfsqueue.pop();
for (int i=1;i<=m;++i){
if (path[i] == -1 && map[node][i]!=0 && i != start){
minflow[i] = (minflow[node]<map[node][i])?minflow[node]:map[node][i];
path[i] = node;
bfsqueue.push(i);
}
}
}
if (path[terminal] == -1) return -1;
return minflow[terminal];
}
int edmonds_karp(){
int max_flow = 0;
int path[LEN];
int increasedflow;
int node;
while ( (increasedflow=bfs(path)) != -1){
max_flow += increasedflow;
node = terminal;
while (node != start){
int pre = path[node];
map[pre][node] -= increasedflow;
map[node][pre] += increasedflow;
node = pre;
}
}
return max_flow;
}
